【2020数二】求曲线y=(x^1+x)/((1+x)^x)(x>0)的斜渐近线方程.

本题考查曲线斜渐近线方程的求解。解题思路是先根据斜渐近线方程的定义，确定需要计算斜率 $k$ 和截距 $b$。然后分别通过极限运算求出 $k$ 和 $b$ 的值，最后将 $k$ 和 $b$ 代入斜渐近线方程 $y = kx + b$ 中得到最终结果。

步骤1：求斜率 $k$

根据斜渐近线斜率的计算公式 $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x}$，已知 $y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}$，则：
$\begin{align*}k&=\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}} \cdot \frac{1}{x}\\&=\lim_{x \to +\infty} \frac{x^x}{(1+x)^x}\\&=\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{1+x} \right)^x\\&=\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \right)^x\\&=\frac{1}{\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x}\\&=\frac{1}{e}\end{align*}$
这里利用了重要极限 $\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$。

步骤2：求截距 $b$

根据斜渐近线截距的计算公式 $b = \lim_{x \to +\infty} (y - kx)$，已知 $k = \frac{1}{e}$，$y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}$，则：
$\begin{align*}b&=\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}} - \frac{x}{e} \right)\\&=\lim_{x \to +\infty} x \left( \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} - \frac{1}{e} \right)\end{align*}$
由泰勒展开式 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \left(1 - \frac{1}{2x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)$，可得：
$\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} = \frac{1}{e} \left(1 + \frac{1}{2x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)$
将其代入上式可得：
$\begin{align*}b&=\lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{1}{e} \left(\frac{1}{2x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\\&=\frac{1}{e} \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right)\right)\\&=\frac{1}{2e}\end{align*}$

步骤3：确定斜渐近线方程

将 $k = \frac{1}{e}$，$b = \frac{1}{2e}$ 代入斜渐近线方程 $y = kx + b$，可得斜渐近线方程为 $y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{2e}$。