题目
证明:复平面上三点z1,z2,z3共线的充要条件是 dfrac ({z)_(3)-(z)_(1)}({z)_(2)-(z)_(1)} 为-|||-实数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线方程
复平面上过点 $z_1$ 和 $z_2$ 的直线方程可以表示为 $z = z_1 + t(z_2 - z_1)$，其中 $t$ 是实数参数，$t \in (-\infty, +\infty)$。
步骤 2：共线条件
点 $z_3$ 在直线 $z = z_1 + t(z_2 - z_1)$ 上的充要条件是存在实数 $t_0$，使得 $z_3 = z_1 + t_0(z_2 - z_1)$。
步骤 3：计算比值
将 $z_3 = z_1 + t_0(z_2 - z_1)$ 代入比值 $\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$，得到 $\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = t_0$。由于 $t_0$ 是实数，所以 $\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ 为实数。
复平面上过点 $z_1$ 和 $z_2$ 的直线方程可以表示为 $z = z_1 + t(z_2 - z_1)$，其中 $t$ 是实数参数，$t \in (-\infty, +\infty)$。
步骤 2：共线条件
点 $z_3$ 在直线 $z = z_1 + t(z_2 - z_1)$ 上的充要条件是存在实数 $t_0$，使得 $z_3 = z_1 + t_0(z_2 - z_1)$。
步骤 3：计算比值
将 $z_3 = z_1 + t_0(z_2 - z_1)$ 代入比值 $\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$，得到 $\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = t_0$。由于 $t_0$ 是实数，所以 $\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ 为实数。