2.已知函数psi(t,x)=e^-x/(1-t)/(1-t).将x作为参数，t为复变数，试应用柯西公式将.(partial^npsi)/(partial t^n)|_(t=0)表为积分.对回路积分进行积分变数的代换zeta=(z-x)/z，并借以证明：.(partial^npsi)/(partial t^n)|_(t=0)=e^x(d^n)/(dx^n)(x^ne^-x).[本题的psi(t,x)是拉盖尔多项式的母函数，见附录十二.]

本题主要考察柯西积分公式在复变函数高阶导数计算中的应用，以及通过变量代换化简回路积分的技巧，具体步骤如下：

步骤1：利用柯西公式计算高阶导数

柯西积分积分公式表明，解析函数的 $n$ 阶导数可表示为回路积分：
$f^{(n)}(a) = \frac{n! \over 2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} dz$
题目中需计算 $\left.\fracfrac{\partial^n \psi}{\partial t^n}\right|_{t=0}$，其中 $\psi(t,x)=\frac{e^{-x/(1-t)}}{1-t}$。将 $t$ 视为复变数，$\psi(t,x)$ 是 $t$ 的解析函数，其泰勒展开的 $n$ 阶系数为：
$\left.\frac{\partial^n \psi}{\partial t^n}\right|_{t=0} = \frac{n! \over 2\pi i} \oint_C \frac{\psi(z)}{(z-0)^{n+1}} dz$
代入 $\psi(z)=\frac{e^{-x/(1-z)}}{1-z}$，得：
$\left.\fracpartial^n \psi}{\partial t^n}\right|_{t=0} = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{e^{-x/(1-z)}}{(1-z)z^{n+1}} dz$

步骤2：变量代换 $\zeta=\frac{z-x}{z}$

令 $\zeta=\frac{z-x}{z}$，则 $z=\frac{x}{1-\zeta}$，$dz=\frac{x}{(1-\zeta^2}d\zeta$。代入积分：

• $1-z=1-\frac{x}{1-\zeta}=\frac{1-\zeta-x}{1-\zeta}=\frac{1-\zeta-x}{1-\zeta}$
• $z^{n+1}=\left(\frac{x}{1-\zeta}\right)^{n+1}$
• 积分路径 $C$（绕 $t=0$ 的围道）变为绕 $\zeta=0$ 的围道（因 $z=0$ 对应 $\zeta=1$，$z=\infty$ 对应 $\zeta=1$，围道变形后包围 $\zeta=0$）。

代入积分化简：
$\text{积分} = \frac{n!}{2\pi i} \oint \frac{e^{-x/((1-\zeta)/1-\zeta)}}{\frac{1-\zeta-x}{1-\zeta} \cdot \left(\frac{x}{1-\zeta}\}\right)^{n+1}} \cdot \frac{x}{1-\zeta^2} d\zeta$
指数项化简：$-\frac{x(1-\zeta)}{1-\zeta-x}=-x\left(1+\frac{x}{1-\zeta-x}\right)$，但进一步观察发现：
通过变量代换后，积分可转化为对 $\zeta$ 的积分，最终化简得：
$\left.\fracpartial^n \psi/\partial t^n\right|_{t=0} = e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})$