当 x arrow 0 时, e^x cos x^2 - e^x 与 x^n 是同阶无穷小, 则 n = ( ).(A) 5(B) 4(C) (5)/(2)(D) 2

我们要求当 $ x \to 0 $ 时，表达式
$e^{x \cos x^2} - e^x$
与 $ x^n $ 是同阶无穷小，求 $ n $ 的值。

第一步：理解题意

题目说：
当 $ x \to 0 $ 时，$ e^{x \cos x^2} - e^x $ 是与 $ x^n $ 同阶无穷小，即存在常数 $ C \ne 0 $，使得
$e^{x \cos x^2} - e^x \sim C x^n \quad (x \to 0)$
我们要找出这样的 $ n $。

第二步：对表达式进行分析

我们考虑函数：
$f(x) = e^{x \cos x^2} - e^x$

注意到当 $ x \to 0 $ 时，$ \cos x^2 \to 1 $，所以 $ x \cos x^2 \to 0 $，因此两个指数都趋于 0，整个表达式趋于 $ e^0 - e^0 = 0 $，确实是无穷小。

我们希望比较 $ f(x) $ 与 $ x^n $ 的阶。

第三步：使用泰勒展开

我们对 $ f(x) = e^{x \cos x^2} - e^x $ 进行泰勒展开（在 $ x = 0 $ 附近）。

1. 展开 $ \cos x^2 $

$\cos x^2 = 1 - \frac{(x^2)^2}{2!} + \frac{(x^2)^4}{4!} - \cdots = 1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24} - \cdots$

所以：
$x \cos x^2 = x \left(1 - \frac{x^4}{2} + o(x^4)\right) = x - \frac{x^5}{2} + o(x^5)$

2. 展开 $ e^{x \cos x^2} $

令 $ u = x \cos x^2 = x - \frac{x^5}{2} + o(x^5) $

我们对 $ e^u $ 在 $ u \to 0 $ 时展开：
$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \frac{u^4}{4!} + \frac{u^5}{5!} + o(u^5)$

但我们只需要展开到足够高的阶，使得能捕捉到 $ e^{x \cos x^2} - e^x $ 的主部。

先展开 $ e^x $：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$

再展开 $ e^{x \cos x^2} = e^{x - \frac{x^5}{2} + o(x^5)} $

令 $ u = x - \frac{x^5}{2} + o(x^5) $

那么：
$e^u = e^{x - \frac{x^5}{2} + o(x^5)} = e^x \cdot e^{-\frac{x^5}{2} + o(x^5)}$

这是一个关键技巧：把指数拆成 $ x $ 和高阶小项。

所以：
$e^{x \cos x^2} = e^x \cdot \exp\left( -\frac{x^5}{2} + o(x^5) \right)$

对右边的指数函数展开：
$\exp\left( -\frac{x^5}{2} + o(x^5) \right) = 1 - \frac{x^5}{2} + o(x^5)$

因此：
$e^{x \cos x^2} = e^x \left(1 - \frac{x^5}{2} + o(x^5) \right)$

于是：
$e^{x \cos x^2} - e^x = e^x \left(1 - \frac{x^5}{2} + o(x^5) \right) - e^x = e^x \left( -\frac{x^5}{2} + o(x^5) \right)$

而 $ e^x = 1 + o(1) $，当 $ x \to 0 $，所以：
$e^{x \cos x^2} - e^x = (1 + o(1)) \left( -\frac{x^5}{2} + o(x^5) \right) = -\frac{x^5}{2} + o(x^5)$

因此：
$e^{x \cos x^2} - e^x \sim -\frac{1}{2} x^5 \quad (x \to 0)$

第四步：确定阶数

我们得到：
$e^{x \cos x^2} - e^x \sim -\frac{1}{2} x^5$
所以它与 $ x^5 $ 同阶，即 $ n = 5 $。

答案：

$\boxed{5}$

对应选项：

$\boxed{\text{(A)}}$