题目
若lim _(xarrow 0)dfrac ({(1+a{x)^2)}^sin x-1}({x)^3}=6-|||-__，则lim _(xarrow 0)dfrac ({(1+a{x)^2)}^sin x-1}({x)^3}=6-|||-_______
若
，则
_____
题目解答
答案
∵已知
令函数为
当
时，得到
利用等价无穷小的代换，得到
当时，得到
则得到
所以极限转化为
所以得到
所以本题答案为
解析
步骤 1：等价无穷小代换
由于当$x\rightarrow 0$时，$\sin x\sim x$，因此可以将$\sin x$替换为$x$，即${(1+a{x}^{2})}^{\sin x}-1\sim {(1+a{x}^{2})}^{x}-1$。
步骤 2：利用指数函数的性质
利用指数函数的性质，可以将${(1+a{x}^{2})}^{x}-1$转化为$a{x}^{2}x$，即$a{x}^{3}$。
步骤 3：计算极限
将上述结果代入原极限中，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {a{x}^{3}}{{x}^{3}}=a$。根据题目条件，该极限等于6，因此$a=6$。
由于当$x\rightarrow 0$时，$\sin x\sim x$，因此可以将$\sin x$替换为$x$，即${(1+a{x}^{2})}^{\sin x}-1\sim {(1+a{x}^{2})}^{x}-1$。
步骤 2：利用指数函数的性质
利用指数函数的性质，可以将${(1+a{x}^{2})}^{x}-1$转化为$a{x}^{2}x$，即$a{x}^{3}$。
步骤 3：计算极限
将上述结果代入原极限中，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {a{x}^{3}}{{x}^{3}}=a$。根据题目条件，该极限等于6，因此$a=6$。