[题目]求极限: lim _(narrow infty )(sqrt ({n)^2+n}-n).

步骤 1：有理化分子
为了求解极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }(\sqrt {{n}^{2}+n}-n)$，我们首先对分子进行有理化处理。有理化分子的目的是消除根号，使得极限计算更加容易。我们可以通过乘以分子和分母的共轭来实现这一点。分子的共轭是 $\sqrt {{n}^{2}+n}+n$。因此，我们有：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }(\sqrt {{n}^{2}+n}-n) = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {(\sqrt {{n}^{2}+n}-n)(\sqrt {{n}^{2}+n}+n)}{\sqrt {{n}^{2}+n}+n}$$
步骤 2：化简表达式
分子中的乘积 $(\sqrt {{n}^{2}+n}-n)(\sqrt {{n}^{2}+n}+n)$ 可以通过差平方公式化简为 $n$。因此，我们得到：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{2}+n}+n}$$
步骤 3：提取公因式
为了进一步简化表达式，我们可以提取分母中的公因式 $n$。这样，我们得到：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\sqrt {1+\dfrac {1}{n}}+1}$$
步骤 4：求极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$\dfrac {1}{n}$ 趋于 0。因此，我们得到：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\sqrt {1+0}+1} = \dfrac {1}{2}$$