lim _(narrow infty )(dfrac (1)(sqrt {{n)^2+1}}+dfrac (1)(sqrt {{n)^2+2}}+... +dfrac (1)(sqrt {{n)^2+n}})=1

考查要点：本题主要考查数列极限的夹逼准则（也称两边夹逼定理）的应用，以及通过构造适当的不等式来求解和式极限的方法。

解题核心思路：

1. 构造下界：利用分母递增性，将每个项放大到最小分母对应的项，得到总和的下界。
2. 构造上界：利用分母递增性，将每个项缩小到最大分母对应的项，得到总和的上界。
3. 计算上下界的极限：通过化简上下界表达式，证明它们的极限均为1。
4. 应用夹逼准则：根据夹逼准则，原式极限也为1。

破题关键点：

• 分母的递增性：分母$\sqrt{n^2 + k}$随$k$增大而增大，因此$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$随$k$增大而减小。
• 上下界的构造：通过比较分母的最小值和最大值，找到总和的上下界。

构造下界

每个项$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$（$k=1,2,\dots,n$）的分母$\sqrt{n^2 + k} \leq \sqrt{n^2 + n}$，因此：
$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}}.$
总和共有$n$项，故：
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \geq n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}}.$

化简下界

将$\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}}$化简：
$\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{n \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}.$
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1.$

构造上界

每个项$\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \leq \frac{1}{n}$（因为$\sqrt{n^2 + k} \geq n$），总和为：
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = 1.$

应用夹逼准则

下界$\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}}$和上界$1$的极限均为$1$，根据夹逼准则：
$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = 1.$