题目

8 单选 (4分)已知A为m×n矩阵，R(A)=n-1，且alpha_(1)和alpha_(2)是线性方程组AX=B的两个不同的解向量，则Ax=0的一个基础解系一定可取bigcircA. alpha_(2)bigcircB. alpha_(1)+alpha_(2)bigcircC. alpha_(1)bigcircD. alpha_(2)-alpha_(1)

8 单选 (4分) 已知A为m×n矩阵，R(A)=n-1，且$\alpha_{1}$和$\alpha_{2}$是线性方程组AX=B的两个不同的解向量，则Ax=0的一个基础解系一定可取 $\bigcirc$A. $\alpha_{2}$ $\bigcirc$B. $\alpha_{1}+\alpha_{2}$ $\bigcirc$C. $\alpha_{1}$ $\bigcirc$D. $\alpha_{2}-\alpha_{1}$

题目解答

答案

已知 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，秩 $R(A) = n-1$，且 $\alpha_1$、$\alpha_2$ 是方程 $Ax = B$ 的两个不同解。

  1. 由 $A\alpha_1 = B$ 和 $A\alpha_2 = B$，相减得 $A(\alpha_2 - \alpha_1) = 0$，即 $\alpha_2 - \alpha_1$ 是齐次方程 $Ax = 0$ 的解。
  2. 由于 $R(A) = n-1$，齐次方程 $Ax = 0$ 的基础解系含一个向量，且 $\alpha_2 - \alpha_1 \neq 0$（因 $\alpha_1 \neq \alpha_2$），故 $\alpha_2 - \alpha_1$ 可作为基础解系。
  3. 选项分析：
    • A：$\alpha_2$ 是非齐次方程的解，非齐次解。
    • B：$\alpha_1 + \alpha_2$ 是非齐次方程的解（除非 $B = 0$），非齐次解。
    • C：$\alpha_1$ 是非齐次方程的解，非齐次解。
    • D：$\alpha_2 - \alpha_1$ 是齐次方程的解，符合基础解系条件。

答案： $\boxed{D}$

解析

本题考查线性方程组解的性质以及基础解系的概念。解题的关键在于明确非齐次线性方程组解的差是对应的齐次线性方程组的解，再结合矩阵的秩确定齐次线性方程组基础解系所含向量的个数。

  1. 判断$\alpha_{2}-\alpha_{1}$是否为$Ax = 0$的解：
    已知$\alpha_{1}$和$\alpha_{2}$是线性方程组$Ax = B$的两个不同的解向量，根据非齐次线性方程组解的定义，有$A\alpha_{1}=B$，$A\alpha_{2}=B$。
    用$A\alpha_{2}=B$减去$A\alpha_{1}=B$，可得：
    $A\alpha_{2}-A\alpha_{1}=B - B$
    根据矩阵乘法的分配律$A(\alpha_{2}-\alpha_{1})=A\alpha_{2}-A\alpha_{1}$，则$A(\alpha_{2}-\alpha_{1}) = 0$。
    这表明$\alpha_{2}-\alpha_{1}$是齐次线性方程组$Ax = 0$的解。
    又因为$\alpha_{1}\neq\alpha_{2}$，所以$\alpha_{2}-\alpha_{1}\neq 0$。
  2. 确定$Ax = 0$基础解系所含向量的个数：
    对于齐次线性方程组$Ax = 0$，其中$A$为$m\times n$矩阵，根据基础解系所含向量个数的计算公式：基础解系所含向量个数$=n - R(A)$。
    已知$R(A)=n - 1$，则$n - R(A)=n-(n - 1)=1$，即$Ax = 0$的基础解系只含一个非零解向量。
    由于$\alpha_{2}-\alpha_{1}$是$Ax = 0$的非零解向量，所以$\alpha_{2}-\alpha_{1}$可作为$Ax = 0$的一个基础解系。
  3. 分析其他选项：
    • 选项A：$\alpha_{2}$是$Ax = B$的解，即$A\alpha_{2}=B\neq 0$（因为$Ax = B$是非齐次线性方程组），所以$\alpha_{2}$不是$Ax = 0$的解，不能作为基础解系。
    • 选项B：$A(\alpha_{1}+\alpha_{2})=A\alpha_{1}+A\alpha_{2}=B + B = 2B\neq 0$（因为$Ax = B$是非齐次线性方程组），所以$\alpha_{1}+\alpha_{2}$不是$Ax = 0$的解，不能作为基础解系。
    • 选项C：$\alpha_{1}$是$Ax = B$的解，即$A\alpha_{1}=B\neq 0$（因为$Ax = B$是非齐次线性方程组），所以$\alpha_{1}$不是$Ax = 0$的解，不能作为基础解系。