已知X=a,b,c,d，拓扑T=X,emptyset,{a}，则overline({b}=()A. phiB. XC. bD. b,c,d

考查要点：本题主要考查拓扑空间中闭包的概念及其计算方法，需要结合开集与闭集的定义进行分析。

解题核心思路：

1. 确定所有闭集：根据拓扑$T$的定义，找出所有开集的补集，得到闭集。
2. 寻找最小闭集：在闭集中找到包含给定集合$\{b\}$的最小闭集，即为闭包。

破题关键点：

• 闭集的定义：闭集是开集的补集。
• 闭包的性质：闭包是包含原集合的最小闭集。

步骤1：确定所有闭集

拓扑$T$中的开集为$X$、$\emptyset$、$\{a\}$，因此闭集为：

• $X \setminus X = \emptyset$
• $X \setminus \emptyset = X$
• $X \setminus \{a\} = \{b, c, d\}$

闭集集合：$\{\emptyset, X, \{b, c, d\}\}$。

步骤2：分析$\{b\}$的闭包

1. 判断$\{b\}$是否为闭集：
   $\{b\}$的补集为$\{a, c, d\}$，但$\{a, c, d\}$不在拓扑$T$中，因此$\{b\}$不是闭集。

2. 寻找包含$\{b\}$的最小闭集：

   • $\emptyset$不包含$\{b\}$，排除。
   • $X$包含$\{b\}$，但不是最小。
   • $\{b, c, d\}$包含$\{b\}$，且是闭集中最小的。

结论：$\overline{\{b\}} = \{b, c, d\}$。