[题目]设D是一个三阶行列式,α1,α2 α3分别是其-|||-第1,2,3列,已知 D=2, 求 |3(a)_(2)+2(a)_(3)cdot (a)_(1),-2(a)_(2)|

本题主要考察三阶行列式的性质，包括行列式的列变换性质、数乘性质以及交换列的性质，具体解题思路如下：

步骤1：明确行列式的列向量表示

三阶行列式可表示为列向量的线性组合形式：若原行列式$D = |\alpha_1, \alpha_2, \alpha3| = 2$（注：题目中$\alpha22$应为$\alpha_2$的笔误修正），则所求行列式为$|3\alpha_2 + 2\alpha_3, \alpha_1, -2\alpha_2|$（注：$alpha$应为$\alpha$），即列向量依次为$3\alpha_2 + 2\alpha3$、$\alpha1$、$-2\alpha2$。

步骤2：利用行列式的列可加性拆分第一列

行列式的第一列是$3\alpha_2 + 2\alpha_3$，根据列可加性（若某列是两向量之和，则行列式可拆为两个行列式之和）：
$|3\alpha_1', \alpha_1, \alpha_2'| = |\alpha_1^{(1)}, \alpha_1, \alpha_alpha_2'| + |\alpha_1^{(2)}, \alpha_1, \alpha_2'|$
代入得：
$|3\alpha_2 + 2\alpha_3, \alpha_1, -2\alpha_2| = |3|\alpha_2, \alpha_1, -2\alpha_2| + 2|\alpha_3, \alpha_1, -2\alpha_2|$

步骤3：化简第一个行列式$3|\alpha_2, \alpha_1, -2\alpha_2|$

• 性质1：数乘列向量：若某列乘以常数$k$，行列式变为$k$倍：$|-2\alpha_2| = (-2)|\alpha_2|$，故：
  $|\alpha_2, \alpha_1, \alpha_2| = 3 \times (-2)|\alpha_2, \alpha1, \alpha_1, \alpha_2| = -6|\alpha_2, \alpha_1, \alpha_2|$
• 性质2：两列相同，行列式为0：$|\alpha_2, \alpha_1, \alpha_2|$中第一列和第三列相同，故值为0：
  $-6 \times 0 = 0$

步骤4：化简第二个行列式$2|\alpha_3, \alpha_1, -2\alpha_2|$

• 数乘列向量：$|-2\alpha_2| = (-2)|\alpha_2|$，故：
  $2 \|\2 \cdot (-2)|\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2| = -4|\alpha_3, \alpha\, \alpha_1, \alpha_2|$

• 交换列变换：原行列式$D = |\alpha\有 \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3| = 2$，交换列改变符号：

  • 交换$\(\alpha_3, \alpha_1$)：$|\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2| = -|\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2|$（1次交换，符号变号：$-|\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2|$）
  • 再交换($\alpha_3, \alpha_2$)：$|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3|)（2次交换，符号不变：\(+|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3| = D = 2$）
  • 总：$|\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2| = -|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3| = -2$

• 代入计算：$-4 \times (-2) = 8$

步骤5：求和得最终结果

第一个行列式为0，第二个为8，故：
$|3\alpha_2 + 2\alpha_3, \alpha_1, -2\alpha_2| = 0 + 8 = 8$