题目
[题目]求极限 lim _(narrow infty )n(dfrac (1)({n)^2+1}+dfrac (1)({n)^2+2}+... -|||-+dfrac (1)({n)^2+n})
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定极限表达式
我们有极限表达式 $\lim _{n\rightarrow \infty }n(\dfrac {1}{{n}^{2}+1}+\dfrac {1}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}+n})$，需要求解这个极限。
步骤 2：利用不等式进行夹逼
注意到 $\dfrac {n}{{n}^{2}+n}\lt \dfrac {1}{{n}^{2}+1}+\dfrac {1}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}+n}\lt \dfrac {n}{{n}^{2}+1}$，因为每一项 $\dfrac{1}{{n}^{2}+k}$ 都在 $\dfrac{1}{{n}^{2}+n}$ 和 $\dfrac{1}{{n}^{2}+1}$ 之间，其中 $k=1,2,\cdots,n$。
步骤 3：计算极限
将不等式两边同时乘以 $n$，得到 $n\cdot \dfrac {n}{{n}^{2}+n}\lt n(\dfrac {1}{{n}^{2}+1}+\dfrac {1}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}+n})\lt \dfrac {n}{{n}^{2}+1}\cdot n$。简化得到 $\dfrac{n^2}{{n}^{2}+n}\lt n(\dfrac {1}{{n}^{2}+1}+\dfrac {1}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}+n})\lt \dfrac{n^2}{{n}^{2}+1}$。当 $n\rightarrow \infty$ 时，$\dfrac{n^2}{{n}^{2}+n}$ 和 $\dfrac{n^2}{{n}^{2}+1}$ 都趋于 $1$，因此根据夹逼定理，原极限也趋于 $1$。
我们有极限表达式 $\lim _{n\rightarrow \infty }n(\dfrac {1}{{n}^{2}+1}+\dfrac {1}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}+n})$，需要求解这个极限。
步骤 2：利用不等式进行夹逼
注意到 $\dfrac {n}{{n}^{2}+n}\lt \dfrac {1}{{n}^{2}+1}+\dfrac {1}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}+n}\lt \dfrac {n}{{n}^{2}+1}$，因为每一项 $\dfrac{1}{{n}^{2}+k}$ 都在 $\dfrac{1}{{n}^{2}+n}$ 和 $\dfrac{1}{{n}^{2}+1}$ 之间，其中 $k=1,2,\cdots,n$。
步骤 3：计算极限
将不等式两边同时乘以 $n$，得到 $n\cdot \dfrac {n}{{n}^{2}+n}\lt n(\dfrac {1}{{n}^{2}+1}+\dfrac {1}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}+n})\lt \dfrac {n}{{n}^{2}+1}\cdot n$。简化得到 $\dfrac{n^2}{{n}^{2}+n}\lt n(\dfrac {1}{{n}^{2}+1}+\dfrac {1}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}+n})\lt \dfrac{n^2}{{n}^{2}+1}$。当 $n\rightarrow \infty$ 时，$\dfrac{n^2}{{n}^{2}+n}$ 和 $\dfrac{n^2}{{n}^{2}+1}$ 都趋于 $1$，因此根据夹逼定理，原极限也趋于 $1$。