10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次。(1)某人随机地去挑,问他试验成功一次的概率是多少?(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次试推断他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的)
10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次。
(1)某人随机地去挑,问他试验成功一次的概率是多少?
(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次试推断他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的)
题目解答
答案
(1) 在第一个问题中，从4杯甲种酒中选4杯的方法有C(4, 4) = 1种，从总的8杯酒中选4杯的方法有C(8, 4) = 70种。因此，随机挑选4杯并且全为甲种的概率是 P = 1/70 ≈ 0.0143。
(2) 对于第二个问题，我们使用二项分布。令X表示10次试验中成功的次数。X服从二项分布B(10, 1/70)，其中n=10（试验次数），p=1/70（每次试验成功的概率，我们在第一部分已经计算得到）。
我们要计算P(X >= 3)，也就是在10次试验中至少成功3次的概率。
P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]
= 1 - [C(10, 0) * (1/70)^0 * (69/70)^10 + C(10, 1) * (1/70)^1 * (69/70)^9 + C(10, 2) * (1/70)^2 * (69/70)^8]
≈ 1 - [0.9484 + 0.0495 + 0.0019] ≈ 1 - 0.9998 ≈ 0.0002。
因为P(X >= 3)非常小，这意味着随机抽取在10次试验中至少成功3次的概率是非常低的。因此，我们可以推断，此人可能确实具有区分两种酒的能力。
解析
考查要点：
- 组合概率计算：理解如何计算从有限元素中选取特定元素的概率。
- 二项分布应用：通过多次独立试验的成功次数判断事件的显著性。
解题核心思路：
- 第一问：计算从8杯酒中随机选出4杯甲酒的概率，本质是组合数的比值。
- 第二问：假设随机成功概率为$p=1/70$，计算在10次独立试验中成功3次及以上的概率。若概率极低，则说明结果显著偏离随机猜测，推断存在真实能力。
破题关键点：
- 明确成功条件：选出的4杯必须全部是甲酒。
- 区分试验独立性：每次试验结果互不影响，符合二项分布假设。
第（1）题
问题：随机挑选4杯酒全部为甲种的概率。
步骤1：计算总可能情况
从8杯酒中选4杯的组合数为：
$C(8,4) = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70.$
步骤2：计算成功情况
选出4杯甲酒的组合数为：
$C(4,4) = 1.$
步骤3：计算概率
成功概率为：
$P = \frac{C(4,4)}{C(8,4)} = \frac{1}{70} \approx 0.0143.$
第（2）题
问题：通过10次试验成功3次，判断是否为随机猜测。
步骤1：建立二项分布模型
设每次试验成功概率$p=1/70$，试验次数$n=10$，成功次数$X \sim B(10, 1/70)$。
步骤2：计算累计概率
计算$P(X \geq 3)$，即至少成功3次的概率：
$P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - \left[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \right].$
步骤3：逐项计算
- $P(X=0)$：
$C(10,0) \cdot \left(\frac{1}{70}\right)^0 \cdot \left(\frac{69}{70}\right)^{10} \approx 0.9484.$ - $P(X=1)$：
$C(10,1) \cdot \left(\frac{1}{70}\right)^1 \cdot \left(\frac{69}{70}\right)^9 \approx 0.0495.$ - $P(X=2)$：
$C(10,2) \cdot \left(\frac{1}{70}\right)^2 \cdot \left(\frac{69}{70}\right)^8 \approx 0.0019.$
步骤4：综合结果
$P(X \geq 3) \approx 1 - (0.9484 + 0.0495 + 0.0019) = 1 - 0.9998 = 0.0002.$
结论：概率极低（仅0.02%），说明结果显著偏离随机猜测，推断该人可能具有区分能力。