求指导本题解题过程，谢谢您！ need_replace_r_n 正确答案已提供，需要过程，谢谢老师 need_replace_r_n 已知矩阵A= (} -2& 1& 1 0& 2& 0 -4& 1& 3.

本题主要考查矩阵对角化以及矩阵行列式的计算。解题思路如下：

（1）求可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵

• 步骤一：求矩阵 $A$ 的特征值
  根据特征方程 $\vert\lambda E - A\vert = 0$ 来计算矩阵 $A$ 的特征值，其中 $E$ 为单位矩阵。
  已知矩阵 $A=\begin{pmatrix}-2&1&1\\0&2&0\\-4&1&3\end{pmatrix}$，则 $\lambda E - A=\begin{pmatrix}\lambda + 2& -1& -1\\0&\lambda - 2&0\\4& -1&\lambda - 3\end{pmatrix}$。
  计算行列式 $\vert\lambda E - A\vert$：
  $\begin{align*}\vert\lambda E - A\vert&= (\lambda - 2)\begin{vmatrix}\lambda + 2& -1\\4&\lambda - 3\end{vmatrix}\\&= (\lambda - 2)[(\lambda + 2)(\lambda - 3)+4]\\&= (\lambda - 2)(\lambda^2 - \lambda - 6 + 4)\\&= (\lambda - 2)(\lambda^2 - \lambda - 2)\\&= (\lambda - 2)(\lambda - 2)(\lambda + 1)\\&= (\lambda - 2)^2(\lambda + 1)\end{align*}$
  令 $\vert\lambda E - A\vert = 0$，即 $(\lambda - 2)^2(\lambda + 1)=0$，解得 $\lambda_1 = \lambda_2 = 2$，$\lambda_3 = -1$。
• 步骤二：求特征值对应的特征向量
  • 当 $\lambda = 2$ 时，将其代入 $(\lambda E - A)X = 0$，即 $\begin{pmatrix}4& -1& -1\\0&0&0\\4& -1& -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$。
    对系数矩阵进行初等行变换，可得 $\begin{pmatrix}4& -1& -1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，对应的方程组为 $4x_1 - x_2 - x_3 = 0$。
    令 $x_2 = 1$，$x_3 = 0$，解得 $x_1 = \frac{1}{4}$，得到特征向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}\\1\\0\end{pmatrix}$；令 $x_2 = 0$，$x_3 = 1$，解得 $x_1 = \frac{1}{4}$，得到特征向量 $\alpha_2=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}\\0\\1\end{pmatrix}$。为了方便后续计算，可将特征向量同乘以 $4$，得到 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}$，$\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}$。
  • 当 $\lambda = -1$ 时，将其代入 $(\lambda E - A)X = 0$，即 $\begin{pmatrix}1& -1& -1\\0& -3&0\\4& -1& -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$。
    对系数矩阵进行初等行变换，可得 $\begin{pmatrix}1& -1& -1\\0& -3&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，对应的方程组为 $\begin{cases}x_1 - x_2 - x_3 = 0\\-3x_2 = 0\end{cases}$，解得 $x_2 = 0$，$x_1 = x_3$。令 $x_1 = 1$，得到特征向量 $\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$。
• 步骤三：构造可逆矩阵 $P$
  令 $P = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\4&0&0\\0&4&1\end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0& -1\end{pmatrix}$。

（2）求 $\vert A^{10}\vert$

• 步骤一：求 $\vert A\vert$
  根据矩阵对角化的性质，若 $P^{-1}AP=\Lambda$（$\Lambda$ 为对角矩阵），则 $\vert A\vert = \vert\Lambda\vert$。
  由（1）可知 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0& -1\end{pmatrix}$，所以 $\vert A\vert = 2\times2\times(-1)= - 4$。
• 步骤二：计算 $\vert A^{10}\vert$
  根据行列式的性质 $\vert A^n\vert = \vert A\vert^n$，可得 $\vert A^{10}\vert = \vert A\vert^{10}=(-4)^{10}=2^{20}$。