设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0，1)上服从均匀分布，Y的概率密度为_(r)(y)= {e)^-dfrac (y{2)},ygt 0 0,yleqslant 0 (1)求X和Y的联合概率密度； (2)设含有a的二次方程为a^2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率。

考查要点：

1. 独立随机变量的联合概率密度：当两个随机变量独立时，联合概率密度是各自概率密度的乘积。
2. 二次方程有实根的条件：判别式非负，转化为概率计算问题。
3. 二重积分计算概率：通过几何区域积分联合概率密度，结合标准正态分布函数求解。

解题核心思路：

1. 第一问：直接利用独立性，将X和Y的边缘密度相乘得到联合密度。
2. 第二问：
   • 条件转化：方程有实根等价于$X^2 \geq Y$。
   • 积分区域确定：在$0 < X < 1$范围内，$Y$的范围是$0 \leq Y \leq X^2$。
   • 积分计算：通过二重积分计算概率，利用标准正态分布函数简化结果。

第（1）题

关键步骤：

1. X的密度函数：
   $f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
2. Y的密度函数：
   $f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{-y/2}, & y > 0, \\ 0, & y \leq 0. \end{cases}$
3. 独立性：X与Y独立，联合密度为乘积形式：
   $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y).$
4. 联合密度表达式：
   $f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{-y/2}, & 0 < x < 1, \ y > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$

第（2）题

关键步骤：

1. 判别式条件：方程$a^2 + 2Xa + Y = 0$有实根的充要条件为$(2X)^2 - 4Y \geq 0$，即$X^2 \geq Y$。
2. 积分区域：
   • $X$的范围：$0 < X < 1$（因X服从$(0,1)$均匀分布）。
   • $Y$的范围：$0 \leq Y \leq X^2$。
3. 概率计算：
   $P(X^2 \geq Y) = \iint_D f(x,y) \, dx \, dy,$
   其中$D$为$0 < x < 1$，$0 \leq y \leq x^2$。
4. 积分过程：
   • 先对$y$积分：
     $\int_0^{x^2} \dfrac{1}{2}e^{-y/2} \, dy = 1 - e^{-x^2/2}.$
   • 再对$x$积分：
     $\int_0^1 \left(1 - e^{-x^2/2}\right) dx = 1 - \int_0^1 e^{-x^2/2} dx.$
5. 标准正态分布转换：
   $\int_0^1 e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi} \left[\Phi(1) - \Phi(0)\right],$
   其中$\Phi(x)$为标准正态分布的CDF，$\Phi(1) \approx 0.8413$，$\Phi(0) = 0.5$。
6. 最终结果：
   $P(X^2 \geq Y) = 1 - \sqrt{2\pi} \cdot 0.3413 \approx 0.1445.$