题目
证明：方程(x)^10-7(x)^6-3(x)^2+1=0-|||-__ __必有一个小于1的正根。
证明：方程
必有一个小于1的正根。
必有一个小于1的正根。题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x)={x}^{11}-{x}^{7}-{x}^{3}+x$，这样原方程可以表示为 $f'(x)=0$。
步骤 2：验证函数的连续性和可导性
函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上是连续的，并且在区间 $(0,1)$ 内是可导的。
步骤 3：应用罗尔定理
根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，并且在端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$，那么在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$。
步骤 4：验证端点函数值
计算 $f(0)$ 和 $f(1)$ 的值，得到 $f(0)=0$ 和 $f(1)=0$。
步骤 5：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f'(\xi)=0$，即 $11{\xi}^{10}-7{\xi}^{6}-3{\xi}^{2}+1=0$。
定义函数 $f(x)={x}^{11}-{x}^{7}-{x}^{3}+x$，这样原方程可以表示为 $f'(x)=0$。
步骤 2：验证函数的连续性和可导性
函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上是连续的，并且在区间 $(0,1)$ 内是可导的。
步骤 3：应用罗尔定理
根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，并且在端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$，那么在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$。
步骤 4：验证端点函数值
计算 $f(0)$ 和 $f(1)$ 的值，得到 $f(0)=0$ 和 $f(1)=0$。
步骤 5：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f'(\xi)=0$，即 $11{\xi}^{10}-7{\xi}^{6}-3{\xi}^{2}+1=0$。