设f(x)=|x(1一x)|,则( )A. x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。B. x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。C. x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。D. x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点。

考查要点：本题主要考查函数的极值点和拐点的判断，涉及绝对值函数的分段处理、导数的计算以及凹凸性变化的分析。

解题核心思路：

1. 分段讨论：将绝对值函数$f(x)=|x(1-x)|$拆分为不同区间的表达式，便于求导分析。
2. 极值点判断：通过左右导数是否存在及是否变号，判断$x=0$是否为极值点。
3. 拐点判断：通过二阶导数的符号变化，判断$(0,0)$是否为拐点。

破题关键点：

• 分段点分析：确定$x=0$和$x=1$为分段点，分别讨论各区间的函数表达式。
• 导数不存在点的极值：即使导数不存在，若两侧单调性改变，也可能存在极值。
• 凹凸性变化：二阶导数符号变化是拐点存在的充要条件。

函数分段与导数计算

1. 分段表达式：

   • 当$x \leq 0$或$x \geq 1$时，$x(1-x) \leq 0$，故$f(x) = -x(1-x) = x^2 - x$；
   • 当$0 < x < 1$时，$x(1-x) > 0$，故$f(x) = x(1-x) = -x^2 + x$。

2. 一阶导数：

   • $x < 0$时，$f'(x) = 2x - 1$；
   • $0 < x < 1$时，$f'(x) = -2x + 1$；
   • 在$x=0$处，左导数为$-1$，右导数为$1$，导数不存在。

3. 二阶导数：

   • $x < 0$时，$f''(x) = 2$；
   • $0 < x < 1$时，$f''(x) = -2$；
   • 在$x=0$处，二阶导数不存在。

极值点分析

• 左右单调性：当$x$从左侧趋近$0$时，$f'(x) = 2x - 1$趋近于$-1$（递减）；当$x$从右侧趋近$0$时，$f'(x) = -2x + 1$趋近于$1$（递增）。
  结论：$x=0$是极小值点，故为极值点。

拐点分析

• 凹凸性变化：当$x < 0$时，$f''(x) = 2 > 0$（凹向上）；当$0 < x < 1$时，$f''(x) = -2 < 0$（凹向下）。
  结论：$(0,0)$处凹凸性改变，故为拐点。