7.曲线 ) (x)^2+(y)^2+z=3 z=x+y . xoy坐标面上的投影曲线方程-|||-是 __

本题考查空间曲线在坐标面上的投影曲线方程的求解。解题的关键思路是先消去曲线方程组中的$z$，得到母线平行于$z$轴的柱面方程，再结合投影所在的坐标面（$xOy$面，此时$z = 0$），从而确定投影曲线方程。

步骤一：消去$z$得到柱面方程

已知曲线方程组$\begin{cases}x^{2}+y^{2}+z = 3&(1)\\z = x + y&(2)\end{cases}$
将$(2)$式$z = x + y$代入$(1)$式$x^{2}+y^{2}+z = 3$中，可得：
$x^{2}+y^{2}+x + y = 3$

步骤二：将上式化为圆的标准方程

为了将$x^{2}+y^{2}+x + y = 3$化为圆的标准方程$(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2$的形式，我们使用配方法。
对于$x$的部分：$x^{2}+x=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$
对于$y$的部分：$y^{2}+y=(y+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$
则$x^{2}+y^{2}+x + y = 3$可化为：
$(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}+(y+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}=3$
移项可得：
$(x+\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}=3+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$(x+\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}=\frac{12 + 1+1}{4}=\frac{7}{2}$
此方程表示一个母线平行于$z$轴的圆柱面。

步骤三：确定投影曲线方程

因为要求曲线在$xOy$坐标面上的投影曲线方程，而$xOy$坐标面上的点的$z$坐标都为$0$，所以投影曲线方程为$\begin{cases}(x+\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}=\frac{7}{2}\\z = 0\end{cases}$