z=0是函数(z)=dfrac (z)(sin {z)^2cdot ((e)^z-1)}的几级极点A 1 B 2 C 3 D 4

考查要点：本题主要考查复变函数中极点的级数的判断方法，需要结合分子和分母在特定点的零点阶数进行分析。

解题核心思路：

1. 确定分子和分母在z=0处的零点阶数；
2. 极点的级数 = 分母的零点阶数 - 分子的零点阶数（前提是分子在该点不为零）。

破题关键点：

• 分子z在z=0处是一阶零点；
• 分母由两个因子组成：$\sin(z^2)$和$e^z -1$，需分别计算它们的零点阶数并求和；
• 分母的零点阶数总和为3，因此极点的级数为$3-1=2$。

分子分析

分子为$z$，当$z=0$时，分子值为0。由于$z$是一次多项式，因此z=0是分子的一阶零点。

分母分析

分母为$\sin(z^2) \cdot (e^z -1)$，需分别分析两个因子的零点阶数：

$\sin(z^2)$的零点阶数

泰勒展开$\sin(w) = w - \frac{w^3}{6} + \cdots$，令$w = z^2$，得：
$\sin(z^2) = z^2 - \frac{z^6}{6} + \cdots$
最低次项为$z^2$，因此$\sin(z^2)$在z=0处是二阶零点。

$e^z -1$的零点阶数

泰勒展开$e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \cdots$，因此：
$e^z -1 = z + \frac{z^2}{2} + \cdots$
最低次项为$z$，因此$e^z -1$在z=0处是一阶零点。

分母总零点阶数

分母为两个因子的乘积，零点阶数相加：
$2 \, (\text{来自} \, \sin(z^2)) + 1 \, (\text{来自} \, e^z -1) = 3$

极点的级数计算

极点的级数为分母的零点阶数减去分子的零点阶数：
$3 \, (\text{分母}) - 1 \, (\text{分子}) = 2$