题目

8.设双纽线 (({x)^2+(y)^2)}^2=(2)^2((x)^2-(y)^2) 围成的平面区域记为D,则二重积分 iint ((x)^2+(y)^2)dsigma = ()-|||-(A)π )2π (C)3π (D)4π

题目解答

答案

解析

本题考查利用极坐标计算二重积分，解题思路如下：

  1. 将双纽线方程化为极坐标方程：
    在极坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且$d\sigma=rdrd\theta$，$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。
    将其代入双纽线方程$(x^{2}+y^{2})^{2}=2^{2}(x^{2}-y^{2})$，可得$(r^{2})^{2}=4(r^{2}\cos^{2}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta)$。
    因为$r\neq0$（$r = 0$只是双纽线的一个特殊点，不影响积分计算），两边同时除以$r^{2}$，得到$r^{2}=4(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)$。
    根据二倍角公式$\cos2\theta=\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$，则$r^{2}=4\cos2\theta$，即$r = 2\sqrt{\cos2\theta}$。
    由$r\geq0$，可得$\cos2\theta\geq0$，解不等式$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2\theta\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$，对于本题区域，取$k = 0$，得到$-\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$。
  2. 利用对称性化简二重积分：
    由于区域$D$和被积函数$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$关于$x$轴对称，所以$\iint_{D}(x^{2}+y^{2})d\sigma = 2\iint_{D_{1}}(x^{2}+y^{2})d\sigma$，其中$D_{1}$是$D$在$x$轴上方的部分，此时$0\leq r\leq2\sqrt{\cos2\theta}$，$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$。
  3. 将二重积分化为极坐标下的二次积分并计算：
    在极坐标下$\iint_{D_{1}}(x^{2}+y^{2})d\sigma=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{2\sqrt{\cos2\theta}}r^{2}\cdot rdr$。
    先计算内层积分$\int_{0}^{2\sqrt{\cos2\theta}}r^{3}dr=\left[\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{2\sqrt{\cos2\theta}}=\frac{1}{4}\times(2\sqrt{\cos2\theta})^{4}=4\cos^{2}2\theta$。
    再计算外层积分$2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}4\cos^{2}2\theta d\theta$，根据$\cos^{2}\alpha=\frac{1 + \cos2\alpha}{2}$，则$\cos^{2}2\theta=\frac{1+\cos4\theta}{2}$。
    所以$2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}4\cos^{2}2\theta d\theta=8\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1 + \cos4\theta}{2}d\theta=4\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\cos4\theta)d\theta$。
    $4\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\cos4\theta)d\theta=4\left[\theta+\frac{1}{4}\sin4\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=4\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\sin\pi - 0-\frac{1}{4}\sin0\right)=\pi$。