4.（25.0分）设f(x)=(x+2)/(x+1)sin(1)/(x),a>0为正常数，证明：f(x)在(0,a)内不一致连续。
题目解答
答案
考虑函数 $ f(x) = \frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x} $ 在区间 $ (0, a) $ 内的一致连续性。
取序列 $ x_n = \frac{1}{2n\pi} $ 和 $ y_n = \frac{1}{2n\pi + \pi/2} $，其中 $ n $ 充分大以满足 $ x_n, y_n \in (0, a) $。
计算得：
$|x_n - y_n| = \frac{1}{4n(2n\pi + \pi/2)} \to 0 \quad (n \to \infty),$
但
$f(x_n) = 0, \quad f(y_n) = \frac{1 + 4n\pi + \pi}{1 + 2n\pi + \pi/2} \to 2 \quad (n \to \infty).$
因此，$ |f(x_n) - f(y_n)| \to 2 $，不趋于 0。
根据一致连续的定义，存在 $ \epsilon_0 = 1 $，对于任意 $ \delta > 0 $，总能找到 $ x, y \in (0, a) $ 满足 $ |x - y| < \delta $ 但 $ |f(x) - f(y)| \geq \epsilon_0 $。
结论： 函数 $ f(x) $ 在区间 $ (0, a) $ 内不一致连续。
$\boxed{f(x) \text{ 在 } (0, a) \text{ 内不一致连续。}}$
解析
本题考查函数一致连续的概念及证明函数不一致连续的方法。解题的关键思路是利用一致连续的否定定义来证明。一致连续的定义为：对于函数$y = f(x)$在区间$I$上，若对于任意给定的$\epsilon\gt{}0$，存在$\delta \gt 0$，使得对于区间$I$上的任意两点$x_1,x_2$，当$\vert x_1 - x_2\vert\lt{}\delta$时，都有$\vert f(x_1)-f(x_2)\vert\lt{}\epsilon$，则称函数$f(x)$在区间$I$上一致连续。其否定定义为：若存在$\epsilon_0\gt{}0$，对于任意的$\delta \gt 0$，总存在$x',x''\in I$，使得当$\vert x' - x''\vert\lt{}\delta$时，有$\vert f(x') - f(x'')\vert\geq\epsilon_0$，则称函数$f(x)$在区间$I$上不一致连续。我们通过构造两个特殊的点列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，使得$\vert x_n - y_n\vert\to 0(n\to\infty)$，但$\vert f(x_n)-f(y_n)\vert$不趋于$0$，从而证明函数不一致连续。
- 构造点列：
取序列$x_n=\frac{1}{2n\pi}$和$y_n = \frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$，当$n$充分大时，能保证$x_n,y_n\in(0,a)$。 - 计算$\vert x_n - y_n\vert$的极限：
$\begin{align*} \vert x_n - y_n\vert&=\left|\frac{1}{2n\pi}-\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\right|\\ &=\frac{\left|(2n\pi+\frac{\pi}{2})-2n\pi\right|}{2n\pi(2n\pi+\frac{\pi}{2})}\\ &=\frac{\frac{\pi}{2}}{2n\pi(2n\pi+\frac{\pi}{2})}\\ &=\frac{1}{4n(2n\pi+\frac{\pi}{2})} \end{align*}$
当$n\to\infty$时，$\lim_{n\rightarrow\infty}\vert x_n - y_n\vert=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{4n(2n\pi+\frac{\pi}{2})}=0$。 - 计算$f(x_n)$和$f(y_n)$并求极限：
- 对于$f(x_n)$，将$x_n=\frac{1}{2n\pi}$代入$f(x)=\frac{x + 2}{x + 1}\sin\frac{1}{x}$中，因为$\sin\frac{1}{x_n}=\sin(2n\pi)=0$，所以$f(x_n)=\frac{\frac{1}{2n\pi}+2}{\frac{1}{2n\pi}+1}\times0 = 0$。
- 对于$f(y_n)$，将$y_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$代入$f(x)=\frac{x + 2}{x + 1}\sin\frac{1}{x}$中，因为$\sin\frac{1}{y_n}=\sin(2n\pi+\frac{\pi}{2}) = 1$，所以$f(y_n)=\frac{\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}+2}{\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}+1}$。
对$f(y_n)$进行化简：
$\begin{align*} f(y_n)&=\frac{\frac{1+2(2n\pi+\frac{\pi}{2})}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}}{\frac{1+(2n\pi+\frac{\pi}{2})}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}}\\ &=\frac{1 + 4n\pi+\pi}{1+2n\pi+\frac{\pi}{2}} \end{align*}$
求$\lim_{n\rightarrow\infty}f(y_n)$：
$\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f(y_n)&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1 + 4n\pi+\pi}{1+2n\pi+\frac{\pi}{2}}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4n\pi+(1 + \pi)}{2n\pi+(1+\frac{\pi}{2})}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4+\frac{1 + \pi}{n\pi}}{2+\frac{1+\frac{\pi}{2}}{n\pi}}\\ &=2 \end{align*}$
- 计算$\vert f(x_n)-f(y_n)\vert$的极限：
因为$f(x_n) = 0$，$\lim_{n\rightarrow\infty}f(y_n)=2$，所以$\lim_{n\rightarrow\infty}\vert f(x_n)-f(y_n)\vert=\lim_{n\rightarrow\infty}\vert0 - f(y_n)\vert = 2\neq0$。 - 根据一致连续的否定定义得出结论：
取$\epsilon_0 = 1$，对于任意的$\delta\gt{}0$，由于$\lim_{n\rightarrow\infty}\vert x_n - y_n\vert = 0$，所以存在正整数$N$，当$n \gt N$时，有$\vert x_n - y_n\vert\lt{}\delta$，而$\vert f(x_n)-f(y_n)\vert\to 2(n\to\infty)$，即$\vert f(x_n)-f(y_n)\vert\geq\epsilon_0 = 1$。根据一致连续的否定定义可知，函数$f(x)$在区间$(0,a)$内不一致连续。