13.计算 int (2x-3y+1)dy, 其中Ω是由曲面 =(x)^2+2(y)^2 与曲面 =2-(x)^2 围成的区域.

本题考查三重积分的计算（直角坐标）。解题思路如下：

1. 确定积分区域在 $xOy$ 平面上的投影：
   联立两个曲面方程$\begin{cases}z = x^{2}+2y^{2}\\z = 2 - x^{2}\end{cases}$，消去 $z$ 可得：
   $x^{2}+2y^{2}=2 - x^{2}$，
   化简得$2x^{2}+2y^{2}=2$，即$x^{2}+y^{2}=1$。
   所以积分区域$\Omega$在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D$ 为$\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leqslant1\right\}$。
2. 利用对称性化简积分：
   由于积分区域$\Omega$关于 $yOz$ 平面对称，被积函数 $f(x,y,z)=2x$ 是关于 $x$ 的奇函数，根据奇函数在对称区间上的积分为$0$，可得$\iiint_{\Omega}2x\mathrm{d}v = 0$；
   同理，积分区域$\Omega$关于 $xOz$ 平面对称，被积函数 $f(x,y,z)= - 3y$ 是关于 $y$ 的奇函数，所以$\iiint_{\Omega}-3y\mathrm{d}v = 0$。
   则$\iiint_{\Omega}(2x - 3y + 1)\mathrm{d}v=\iiint_{\Omega}1\mathrm{d}v$，而$\iiint_{\Omega}1\mathrm{d}v$表示区域$\Omega$的体积。
3. 将三重积分化为二重积分：
   根据$z$的范围，$z$从$z = x^{2}+2y^{2}$到$z = 2 - x^{2}$，则$\iiint_{\Omega}1\mathrm{d}v=\iint_{D}\left[\int_{x^{2}+2y^{2}}^{2 - x^{2}}1\mathrm{d}z\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。
   先计算内层积分$\int_{x^{2}+2y^{2}}^{2 - x^{2}}1\mathrm{d}z=(2 - x^{2})-(x^{2}+2y^{2})=2 - 2x^{2}-2y^{2}$。
   所以$\iiint_{\Omega}(2x - 3y + 1)\mathrm{d}v=\iint_{D}(2 - 2x^{2}-2y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。
4. 利用极坐标计算二重积分：
   在极坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，且$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，积分区域 $D$ 变为$0\leqslant r\leqslant1$，$0\leqslant\theta\leqslant2\pi$。
   则$\iint_{D}(2 - 2x^{2}-2y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}(2 - 2r^{2})r\mathrm{d}r$。
   先计算内层积分$\int_{0}^{1}(2 - 2r^{2})r\mathrm{d}r=\int_{0}^{1}(2r-2r^{3})\mathrm{d}r$。
   根据积分公式$\int x^{n}\mathrm{d}x=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得：
   $\int_{0}^{1}(2r-2r^{3})\mathrm{d}r=\left(r^{2}-\frac{1}{2}r^{4}\right)\big|_{0}^{1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
   再计算外层积分$\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}(2 - 2r^{2})r\mathrm{d}r=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\mathrm{d}\theta$。
   而$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2}\theta\big|_{0}^{2\pi}=\pi$。