47.（判断题，2.0分） 方程y^primeprime=y^prime+x的通解为 y=C_(1)e^x-x^2-x+C_(2)。()。A. 对B. 错

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的通解求解。解题思路是先求出对应的齐次方程的通解，再求出非齐次方程的一个特解，最后将两者相加得到通解，然后与题目所给通解进行对比。

1. 求对应的齐次方程 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0$ 的通解：
   特征方程为 $r^{2}-r = 0$，因式分解得 $r(r - 1)=0$，解得 $r_{1}=0$，$r_{2}=1$。
   所以齐次方程的通解为 $y_{h}=C_{1}e^{0x}+C_{2}e^{1x}=C_{1}+C_{2}e^{x}$。

2. 求非齐次方程 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}=x$ 的一个特解：
   由于非齐次项是一次多项式，设特解为 $y_{p}=Ax + Bx^{2}$（这里设特解形式是为了方便后续求导和代入方程）。
   对 $y_{p}$ 求一阶导数 $y_{p}^{\prime}=A + 2Bx$，二阶导数 $y_{p}^{\prime\prime}=2B$。
   将 $y_{p}^{\prime\prime}$ 和 $y_{p}^{\prime}$ 代入原方程 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}=x$ 得：
   $2B-(A + 2Bx)=x$，即 $2B - A-2Bx=x$。
   比较等式两边同类项系数：
   对于 $x$ 的系数：$-2B = 1$，解得 $B =-\frac{1}{2}$。
   对于常数项：$2B - A = 0$，将 $B =-\frac{1}{2}$ 代入得 $2\times(-\frac{1}{2})-A = 0$，解得 $A = - 1$。
   所以特解为 $y_{p}=-x-\frac{1}{2}x^{2}$。

3. 求原方程的通解：
   原方程的通解为 $y = y_{h}+y_{p}=C_{1}+C_{2}e^{x}-x-\frac{1}{2}x^{2}$。
   与题目所给通解 $y=C_{1}e^{x}-x^{2}-x+C_{2}$ 对比，发现题目所给通解中 $x^{2}$ 的系数错误。