5.计算 iint ((x)^2+(y)^2)ds, 其中∑是-|||-(1)锥面 =sqrt ({x)^2+(y)^2} 及平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面;

本题考查对面积的曲面积分的计算。解题思路是先将边界曲面 $\sum$ 分为两部分，即平面部分 $\sum_1$ 和锥面部分 $\sum_2$，然后分别计算在这两部分曲面上的曲面积分，最后将两部分的结果相加。

1. 确定曲面 $\sum$ 的组成

$\sum$ 由两部分组成：

• $\sum_1$ 为平面 $z = 1$ 上被圆周 $x^2 + y^2 = 1$ 所围的部分。
• $\sum_2$ 为锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}(0\leqslant z\leqslant 1)$。

2. 计算 $dS$

• 在 $\sum_1$ 上，因为 $z = 1$ 是平面，所以 $dS = dxdy$。
• 在 $\sum_2$ 上，先求 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数：
  • 对 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 求关于 $x$ 的偏导数，根据求导公式 $(u^{\frac{1}{2}})^\prime=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}u^\prime$，可得 $z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。
  • 同理，对 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 求关于 $y$ 的偏导数，可得 $z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。
  • 则 $dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}dxdy$，将 $z_x$ 和 $z_y$ 代入可得：
    • $dS = \sqrt{1 + (\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2 + (\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2}dxdy$
    • $=\sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}}dxdy$
    • $=\sqrt{1 + 1}dxdy=\sqrt{2}dxdy$。

3. 确定投影区域 $D_{xy}$

$\sum_1$ 和 $\sum_2$ 在 $xOy$ 面上的投影区域 $D_{xy}$ 均为 $x^2 + y^2\leqslant 1$。

4. 计算曲面积分

根据曲面积分的可加性，有：
$\iint_{\sum}(x^2 + y^2)dS = \iint_{\sum_1}(x^2 + y^2)dS + \iint_{\sum_2}(x^2 + y^2)dS$
$=\iint_{D_{xy}}(x^2 + y^2)dxdy + \iint_{D_{xy}}(x^2 + y^2)\sqrt{2}dxdy$

5. 利用极坐标计算二重积分

在极坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdr d\theta$，且 $x^2 + y^2 = r^2$，积分区域 $D_{xy}$ 变为 $0\leqslant r\leqslant 1$，$0\leqslant \theta\leqslant 2\pi$。

• 计算 $\iint_{D_{xy}}(x^2 + y^2)dxdy$：
  • $\iint_{D_{xy}}(x^2 + y^2)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^2\cdot rdr$
  • $=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^3dr$
  • 先计算内层积分 $\int_{0}^{1}r^3dr = [\frac{1}{4}r^4]_0^1=\frac{1}{4}$。
  • 再计算外层积分 $\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi$。
  • 所以 $\iint_{D_{xy}}(x^2 + y^2)dxdy = 2\pi\times\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$。
• 计算 $\iint_{D_{xy}}(x^2 + y^2)\sqrt{2}dxdy$：
  • $\iint_{D_{xy}}(x^2 + y^2)\sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^2\cdot rdr$
  • $=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^3dr$
  • 同样，内层积分 $\int_{0}^{1}r^3dr = \frac{1}{4}$，外层积分 $\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi$。
  • 所以 $\iint_{D_{xy}}(x^2 + y^2)\sqrt{2}dxdy = \sqrt{2}\times 2\pi\times\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$。

6. 得到最终结果

将两部分积分结果相加：
$\iint_{\sum}(x^2 + y^2)dS = \frac{\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\pi = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\pi$。