设D为由曲线=(y)^2; x+y=2围成的平面区域,计算二重积分=(y)^2; x+y=2。

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，涉及积分区域的确定和累次积分的计算。

解题思路：

1. 确定积分区域：通过联立曲线方程找到交点，明确积分上下限。
2. 选择积分次序：根据区域形状选择先对$x$积分再对$y$积分。
3. 逐层积分：先对$x$积分，再对$y$积分，注意代数运算的准确性。

关键点：

• 交点计算：联立$x=y^2$和$x=2-y$，解得$y=-2$和$y=1$。
• 积分限确定：$y$从$-2$到$1$，对应$x$从$y^2$到$2-y$。

步骤1：确定积分区域

联立$x=y^2$和$x=2-y$，解得交点$(1,1)$和$(4,-2)$。积分区域$D$为$y$从$-2$到$1$，$x$从$y^2$到$2-y$。

步骤2：建立累次积分

将二重积分转化为先$x$后$y$的累次积分：
$\iint_D x \,dx\,dy = \int_{-2}^{1} \int_{y^2}^{2-y} x \,dx \,dy$

步骤3：计算对$x$的积分

内层积分：
$\int_{y^2}^{2-y} x \,dx = \left. \frac{1}{2}x^2 \right|_{y^2}^{2-y} = \frac{1}{2}(2-y)^2 - \frac{1}{2}(y^2)^2$

步骤4：计算对$y$的积分

展开并逐项积分：
$\begin{aligned}\int_{-2}^{1} \left[ \frac{(2-y)^2}{2} - \frac{y^4}{2} \right] dy &= \frac{1}{2} \int_{-2}^{1} (4-4y+y^2) \,dy - \frac{1}{2} \int_{-2}^{1} y^4 \,dy \\&= \frac{1}{2} \left[ 4y - 2y^2 + \frac{y^3}{3} \right]_{-2}^{1} - \frac{1}{2} \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{-2}^{1}\end{aligned}$

步骤5：代入上下限计算

1. 第一部分：
   $\left[ 4(1) - 2(1)^2 + \frac{1^3}{3} \right] - \left[ 4(-2) - 2(-2)^2 + \frac{(-2)^3}{3} \right] = \frac{7}{3} - \left( -\frac{56}{3} \right) = \frac{63}{3} = 21$
2. 第二部分：
   $\left[ \frac{1^5}{5} - \frac{(-2)^5}{5} \right] = \frac{1}{5} - \left( -\frac{32}{5} \right) = \frac{33}{5}$

步骤6：合并结果

$\frac{1}{2} \cdot 21 - \frac{1}{2} \cdot \frac{33}{5} = \frac{21}{2} - \frac{33}{10} = \frac{105}{10} - \frac{33}{10} = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$