题目

设A是n阶矩阵,经若干次矩阵的初等变换得到矩阵B,那么( ).A. 必有|A|=|B|B. 必有|A|≠|B|C. 若|A|>0,则|B|>0D. 若|A|=0,则|B|=0

设A是n阶矩阵,经若干次矩阵的初等变换得到矩阵B,那么( ).

A. 必有|A|=|B|

B. 必有|A|≠|B|

C. 若|A|>0,则|B|>0

D. 若|A|=0,则|B|=0

题目解答

答案

D. 若|A|=0,则|B|=0

解析

考查要点：本题主要考查矩阵初等变换对行列式的影响，以及行列式与矩阵秩的关系。

解题核心思路：

  1. 初等变换对行列式的影响：三种初等行变换对行列式的改变规律不同，但无论如何变换，矩阵的秩保持不变。
  2. 行列式与秩的关系：若原矩阵$A$的行列式为$0$，说明$A$的秩不足$n$，经过初等变换后的矩阵$B$秩仍不足$n$，因此$B$的行列式也必为$0$。

破题关键点：

  • 选项D的正确性：利用秩的不变性直接推导行列式为$0$的结论。
  • 排除其他选项：通过构造反例（如行交换、行倍乘等操作）说明选项A、B、C不一定成立。

选项分析：

  1. 选项A：初等变换可能改变行列式的值（如行交换改变符号，行倍乘改变绝对值），因此$|A|=|B|$不一定成立。
  2. 选项B：若仅进行不改变行列式的初等变换（如行加减），则$|A|=|B|$，因此$|A| \neq |B|$不一定成立。
  3. 选项C：若进行一次行交换，行列式符号改变，此时$|A|>0$但$|B|<0$，因此结论不成立。
  4. 选项D：若$|A|=0$，则$A$的秩不足$n$。初等变换不改变秩，因此$B$的秩也不足$n$，故$|B|=0$。

关键结论：

  • 秩的不变性是选项D的核心依据。
  • 行列式的符号和绝对值可能变化，但秩相关的性质（如行列式是否为$0$）保持不变。