(9)lim _(xarrow 0)dfrac (sqrt {1+5x)-sqrt (1-3x)}({x)^2+2x} .

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理根号差的技巧。关键在于通过有理化分子消除根号，将复杂表达式转化为可约分的形式，从而简化计算。

解题思路：

1. 识别不定式类型：当$x \to 0$时，分子和分母均趋近于0，属于$\dfrac{0}{0}$型不定式。
2. 有理化分子：通过乘以共轭根式，将分子转化为多项式，消除根号差。
3. 约分简化：约去公共因子$x$，将表达式进一步化简。
4. 代入求极限：直接代入$x=0$计算最终结果。

步骤1：有理化分子

分子为$\sqrt{1+5x} - \sqrt{1-3x}$，乘以共轭根式$\sqrt{1+5x} + \sqrt{1-3x}$：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {1+5x}-\sqrt {1-3x}}{{x}^{2}+2x} &= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(\sqrt {1+5x}-\sqrt {1-3x})(\sqrt {1+5x}+\sqrt {1-3x})}{({x}^{2}+2x)(\sqrt {1+5x}+\sqrt {1-3x})} \\&= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(1+5x)-(1-3x)}{({x}^{2}+2x)(\sqrt {1+5x}+\sqrt {1-3x})} \\&= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {8x}{({x}^{2}+2x)(\sqrt {1+5x}+\sqrt {1-3x})}.\end{aligned}$

步骤2：约分简化

分母提取公因子$x$，分子分母约去$x$：
$\begin{aligned}&= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {8x}{x(x+2)(\sqrt {1+5x}+\sqrt {1-3x})} \\&= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {8}{(x+2)(\sqrt {1+5x}+\sqrt {1-3x})}.\end{aligned}$

步骤3：代入求极限

当$x \to 0$时，$\sqrt{1+5x} \to 1$，$\sqrt{1-3x} \to 1$，代入得：
$\begin{aligned}&= \dfrac{8}{(0+2)(\sqrt{1}+\sqrt{1})} \\&= \dfrac{8}{2 \times 2} = 2.\end{aligned}$