7.(99-1;2)设f(x)=}(1-cosx)/(sqrt(x)),x>0,x^2g(x),xleq0,其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处A. 极限不存在B. 极限存在,但不连续C. 连续,但不可导D. 可导

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性，涉及极限的计算、导数的定义以及有界函数的性质。

解题核心思路：

1. 连续性判断：分别计算$x=0$处的左极限和右极限，并与$f(0)$比较，确定是否连续。
2. 可导性判断：若连续，则进一步计算左导数和右导数，若两者相等，则可导。

破题关键点：

• 右极限分析：利用等价无穷小替换（$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$）简化计算。
• 左极限分析：结合$x^2$的高阶无穷小性质和有界函数的乘积特性。
• 导数计算：通过导数定义分别计算左右导数，注意分母的趋近方向。

1. 连续性分析

• 当$x \to 0^+$时：
  $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2}}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{3/2}}{2} = 0$

• 当$x \to 0^-$时：
  $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 g(x) = 0 \quad (\text{因$x^2$趋近于0，$g(x)$有界})$

• 函数值$f(0)$：
  $f(0) = 0^2 g(0) = 0$

  结论：左右极限均为0，且等于$f(0)$，故$f(x)$在$x=0$处连续。

2. 可导性分析

• 左导数：
  $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2 g(h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} h g(h)$
  由于$g(h)$有界，$|h g(h)| \leq M |h|$（$M$为常数），故极限为0。

• 右导数：
  $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1 - \cos h}{h^{3/2}}$
  利用泰勒展开$1 - \cos h = \frac{h^2}{2} - \frac{h^4}{24} + \cdots$，得：
  $\lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h^2}{2}}{h^{3/2}} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h}}{2} = 0$

  结论：左右导数均为0，故$f(x)$在$x=0$处可导。