6.已知 f(x,y)= ) 1,0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 0, . 设D为由 x=0 、 y=0 及 x+y=t 所围成的区域,-|||-求 (t)=iint f(x,y)dxdy.

本题考查二重积分的计算，解题的关键在于根据参数 $t$ 的不同取值范围，确定积分区域 $D$ 与函数 $f(x,y)$ 非零区域的交集，然后分别计算二重积分。

1. 确定函数 $f(x,y)$ 的非零区域

已知 $f(x,y)=\begin{cases}1, & 0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1\\0, & \text{其他}\end{cases}$，即 $f(x,y)$ 仅在单位正方形区域 $0\leqslant x\leqslant 1$ 且 $0\leqslant y\leqslant 1$ 上取值为 $1$，在其他区域取值为 $0$。

2. 根据 $t$ 的取值范围分情况讨论积分区域 $D$ 并计算 $F(t)$

• 当 $t \lt 0$ 时：
  积分区域 $D$ 是由 $x = 0$、$y = 0$ 及 $x + y = t$ 所围成的区域，由于 $t\lt{}0$，此时区域 $D$ 与 $f(x,y)$ 的非零区域 $0\leqslant x\leqslant 1$ 且 $0\leqslant y\leqslant 1$ 没有交集。
  根据二重积分的性质，$F(t)=\iint_D f(x,y)dxdy = 0$。

• 当 $0\leqslant t \lt 1$ 时：
  积分区域 $D$ 是由 $x = 0$、$y = 0$ 及 $x + y = t$ 所围成的三角形区域，该三角形区域完全在 $f(x,y)$ 的非零区域内。
  此时 $D$ 可表示为 $0\leqslant x\leqslant t$，$0\leqslant y\leqslant t - x$，则：
  $\begin{align*}F(t)&=\iint_D f(x,y)dxdy\\&=\int_{0}^{t}dx\int_{0}^{t - x}1\cdot dy\\&=\int_{0}^{t}(t - x)dx\\&=\left[tx-\frac{1}{2}x^2\right]_0^t\\&=t^2-\frac{1}{2}t^2\\&=\frac{1}{2}t^2\end{align*}$

• 当 $1\leqslant t \lt 2$ 时：
  此时积分区域 $D$ 与 $f(x,y)$ 的非零区域的交集是一个“L”形区域。
  我们可以用单位正方形的面积 $1$ 减去右上角小三角形的面积来计算积分。
  右上角小三角形的区域为 $1\leqslant x + y\leqslant t$，$0\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant 1$，该小三角形的底和高均为 $2 - t$。
  其面积为 $\frac{1}{2}(2 - t)^2$，所以：
  $F(t)=\iint_D f(x,y)dxdy = 1-\frac{1}{2}(2 - t)^2$

• 当 $t\geqslant 2$ 时：
  积分区域 $D$ 完全包含了 $f(x,y)$ 的非零区域 $0\leqslant x\leqslant 1$ 且 $0\leqslant y\leqslant 1$。
  所以 $F(t)=\iint_D f(x,y)dxdy = 1$