题目
某教科书印刷了2000册,因装订等原因造成错误的概率0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
某教科书印刷了2000册,因装订等原因造成错误的概率0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
题目解答
答案
设X表示2000册书中出错误的书的册数，则
利用泊松分布近似计算，
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
设X表示2000册书中出错误的书的册数，由于每册书出错的概率为0.001，且每册书是否出错是独立的，因此X服从二项分布，即$X\sim B(2000,0.001)$。
步骤 2：计算二项分布的概率
根据二项分布的概率公式，$P\{ X=k\} ={C}_{n}^{k}\times {p}^{k}\times {(1-p)}^{n-k}$，其中n=2000，p=0.001，k=5，代入公式得$P\{ X=5\} ={C}_{2000}^{5}\times {(0.001)}^{5}\times {(1-0.001)}^{1995}$。
步骤 3：利用泊松分布近似计算
由于n很大，p很小，且np=2000×0.001=2，可以利用泊松分布近似计算二项分布的概率，即$P\{ X=5\} =\dfrac {{2}^{5}}{5!}{e}^{-2}$。
设X表示2000册书中出错误的书的册数，由于每册书出错的概率为0.001，且每册书是否出错是独立的，因此X服从二项分布，即$X\sim B(2000,0.001)$。
步骤 2：计算二项分布的概率
根据二项分布的概率公式，$P\{ X=k\} ={C}_{n}^{k}\times {p}^{k}\times {(1-p)}^{n-k}$，其中n=2000，p=0.001，k=5，代入公式得$P\{ X=5\} ={C}_{2000}^{5}\times {(0.001)}^{5}\times {(1-0.001)}^{1995}$。
步骤 3：利用泊松分布近似计算
由于n很大，p很小，且np=2000×0.001=2，可以利用泊松分布近似计算二项分布的概率，即$P\{ X=5\} =\dfrac {{2}^{5}}{5!}{e}^{-2}$。