3.设 F(x)= ) 0,xleqslant 0 x,0lt xlt 1 1,xgeqslant 1 . 则 ()-|||-(A)是随机变量的密度函数 (B)不是随机变量的分布函数-|||-(C)是离散型随机变量的分布函数 (D)是连续型随机变量的分布函数

考查要点：本题主要考查对分布函数性质的理解，以及区分离散型和连续型随机变量分布函数的能力。

解题核心思路：

1. 分布函数的基本性质：非降性、右连续、极限条件（$\lim_{x \to -\infty} F(x)=0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x)=1$）。
2. 离散型与连续型分布函数的区别：离散型分布函数为阶梯函数（存在跳跃点），连续型分布函数处处连续且无跳跃。

破题关键点：

• 验证$F(x)$是否满足分布函数的基本性质。
• 通过函数形式判断是否存在跳跃点，从而区分离散型和连续型。

分布函数性质验证

1. 非降性：
   当$x$增大时，$F(x)$从$0$线性增长到$1$，整体非减。

2. 右连续性：

   • 在$x=0$处，$F(0)=0$，右侧极限$\lim_{x \to 0^+} F(x)=0$，连续。
   • 在$x=1$处，$F(1)=1$，右侧极限$\lim_{x \to 1^+} F(x)=1$，连续。
   • 其余区间函数连续，故整体右连续。

3. 极限条件：
   $\lim_{x \to -\infty} F(x)=0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x)=1$，满足要求。

离散型与连续型判断

• 无跳跃点：函数在定义域内无突变，所有点连续。
• 导数存在：在区间$(0,1)$内，$F(x)=x$可导，导数为$1$；其他区间导数为$0$。
  因此，$F(x)$是连续型随机变量的分布函数。