题目
6、某仪器装有3只独立工作的同型号的电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，其密度函数为f(x)=}(1)/(600)e^-(1)/(600)x&x>00&xleq0，试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。
6、某仪器装有3只独立工作的同型号的电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，其密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{600}e^{-\frac{1}{600}x}&x>0\\0&x\leq0\end{cases}$，试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。
题目解答
答案
设单个元件寿命为 $ X $，其概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{600} e^{-\frac{x}{600}} \quad (x > 0) \]
求单个元件在200小时内不损坏的概率：
\[ P(X > 200) = \int_{200}^{\infty} \frac{1}{600} e^{-\frac{x}{600}} \, dx = e^{-\frac{200}{600}} = e^{-\frac{1}{3}} \]
三个元件独立，全部不损坏的概率：
\[ (e^{-\frac{1}{3}})^3 = e^{-1} \]
至少一个元件损坏的概率：
\[ 1 - e^{-1} \]
**答案：**
$\boxed{1 - e^{-1}}$ 或 $\boxed{1 - \frac{1}{e}}$
解析
考查要点：本题主要考查指数分布的性质、独立事件的概率计算以及至少一个事件发生的概率转换。
解题核心思路：
- 指数分布的生存函数：单个元件在200小时内不损坏的概率可通过指数分布的生存函数直接计算。
- 独立事件联合概率：三个元件独立工作，全部不损坏的概率是单个概率的三次方。
- 逆向思维求解：至少一个元件损坏的概率等于1减去全部不损坏的概率。
破题关键点：
- 正确应用指数分布的生存函数公式：$P(X > t) = e^{-\lambda t}$，其中$\lambda = \frac{1}{600}$。
- 独立事件的乘法法则：三个元件不损坏的概率相乘。
- 互补事件的概率转换：将“至少一个损坏”转换为“全部不损坏”的补集。
步骤1：计算单个元件在200小时内不损坏的概率
指数分布的生存函数为：
$P(X > t) = e^{-\lambda t}$
其中$\lambda = \frac{1}{600}$，代入$t = 200$小时：
$P(X > 200) = e^{-\frac{200}{600}} = e^{-\frac{1}{3}}$
步骤2：计算三个元件全部不损坏的概率
由于元件独立工作，联合概率为：
$\left(e^{-\frac{1}{3}}\right)^3 = e^{-1}$
步骤3：计算至少一个元件损坏的概率
至少一个损坏的概率是全部不损坏的补集：
$1 - e^{-1}$