求下列极限-|||-lim _(xarrow 0)[ dfrac (1)(ln (x+sqrt {1+{x)^2})}-dfrac (1)(ln (1+x))]

步骤 1：化简表达式
首先，我们注意到当 $x$ 接近 $0$ 时，$\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 和 $\ln (1+x)$ 都接近 $0$。因此，我们需要对表达式进行化简，以便于求极限。
步骤 2：使用等价无穷小
当 $x$ 接近 $0$ 时，$\ln (1+x)$ 可以用 $x$ 来近似，即 $\ln (1+x) \sim x$。对于 $\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$，我们可以通过泰勒展开来近似。注意到当 $x$ 接近 $0$ 时，$\sqrt {1+{x}^{2}}$ 可以用 $1+\frac{1}{2}{x}^{2}$ 来近似，因此 $\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}}) \sim \ln (x+1+\frac{1}{2}{x}^{2})$。进一步地，$\ln (x+1+\frac{1}{2}{x}^{2})$ 可以用 $x+\frac{1}{2}{x}^{2}$ 来近似，即 $\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}}) \sim x+\frac{1}{2}{x}^{2}$。
步骤 3：求极限
将上述近似代入原表达式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}[ \dfrac {1}{x+\frac{1}{2}{x}^{2}}-\dfrac {1}{x}]$。进一步化简得到 $\lim _{x\rightarrow 0}[\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x+\frac{1}{2}{x}^{2}}]$。将分母通分，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}[\dfrac {x+\frac{1}{2}{x}^{2}-x}{x(x+\frac{1}{2}{x}^{2})}]$。化简得到 $\lim _{x\rightarrow 0}[\dfrac {\frac{1}{2}{x}^{2}}{x(x+\frac{1}{2}{x}^{2})}]$。进一步化简得到 $\lim _{x\rightarrow 0}[\dfrac {\frac{1}{2}x}{x+\frac{1}{2}{x}^{2}}]$。将 $x$ 提取出来，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}[\dfrac {\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}x}]$。当 $x$ 接近 $0$ 时，$1+\frac{1}{2}x$ 接近 $1$，因此极限值为 $\dfrac {\frac{1}{2}}{1} = -\dfrac {1}{2}$。