题目
心形线x^2+y^2+x=sqrt(x^2)-y^(2)所围成区域的面积为() A. (1)/(2)piB. (3)/(2)piC. (5)/(2)piD. (7)/(2)pi
心形线$x^{2}+y^{2}+x=\sqrt{x^{2}-y^{2}}$所围成区域的面积为()
- A. $\frac{1}{2}\pi$
- B. $\frac{3}{2}\pi$
- C. $\frac{5}{2}\pi$
- D. $\frac{7}{2}\pi$
题目解答
答案
将方程 $x^2 + y^2 + x = \sqrt{x^2 - y^2}$ 转换为极坐标形式，得 $r = \sqrt{\cos 2\theta} - \cos \theta$。利用极坐标面积公式，积分范围为 $[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$，并乘以4。计算得：
\[
A = 2 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \cos 2\theta - 2 \cos \theta \sqrt{\cos 2\theta} + \cos^2 \theta \right) d\theta = 3 + \frac{\pi}{2}
\]
简化后得面积为 $\frac{3\pi}{2}$。
答案：$\boxed{B}$