例1. 已知 f(x) 可导且 F(x)=int_(0)^x^2 f(t) , dt，则 F'(x)= ________.例2. 设 p(x)=int_(1)^sin x sin t^2 , dt，则 p'(x)= ________.例3. 设 y=int_(0)^x^2 e^t , dt，则 dy= ( )A. e^x^2 dxB. e^x^2 dxC. e^-x^2 dxD. e^x^2 2x dx
例1. 已知 $f(x)$ 可导且 $F(x)=\int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$，则 $F'(x)=$ ________. 例2. 设 $p(x)=\int_{1}^{\sin x} \sin t^2 \, dt$，则 $p'(x)=$ ________. 例3. 设 $y=\int_{0}^{x^2} e^t \, dt$，则 $dy=$ ( ) A. $e^{x^2} dx$ B. $e^{x^2} dx$ C. $e^{-x^2} dx$ D. $e^{x^2} 2x dx$
题目解答
答案
我们来逐一分析并解决这三个题目，利用微积分基本定理和链式法则。
例1. 已知 $ f(x) $ 可导，且 $ F(x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt $，求 $ F'(x) $
解题过程：
根据微积分基本定理，若 $ f(t) $ 在区间上连续，且 $ F(x) = \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt $，则：
$F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$
在本题中：
- $ u(x) = x^2 $
- 所以：
$F'(x) = f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f(x^2) \cdot 2x$
答案：
$F'(x) = 2x \cdot f(x^2)$
例2. 设 $ p(x) = \int_{1}^{\sin x} \sin t^2 \, dt $，求 $ p'(x) $
解题过程：
同样使用微积分基本定理和链式法则：
- 被积函数是 $ \sin t^2 $，记为 $ f(t) = \sin t^2 $
- 积分上限是 $ \sin x $，记为 $ u(x) = \sin x $
所以：
$p'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) = \sin((\sin x)^2) \cdot \cos x$
答案：
$p'(x) = \sin(\sin^2 x) \cdot \cos x$
例3. 设 $ y = \int_{0}^{x^2} e^t \, dt $，求 $ dy $
解题过程：
我们先求导数 $ \frac{dy}{dx} $，然后再写成微分形式。
- 被积函数是 $ e^t $
- 积分上限是 $ x^2 $
根据微积分基本定理：
$\frac{dy}{dx} = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x$
所以微分是：
$dy = \frac{dy}{dx} \, dx = e^{x^2} \cdot 2x \, dx$
答案：
$\boxed{D. \ e^{x^2} \cdot 2x \, dx}$
总结答案：
- 例1：$ F'(x) = 2x \cdot f(x^2) $
- 例2：$ p'(x) = \sin(\sin^2 x) \cdot \cos x $
- 例3：$ dy = e^{x^2} \cdot 2x \, dx $（选 D）
解析
本题主要考查变上限积分求导的知识，解题的关键在于运用微积分基本定理以及链式法则。对于形如$F(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)dt$的变上限积分函数，其导数$F^\prime(x)=f(u(x))\cdot u^\prime(x)$。
例1
已知$f(x)$可导，且$F(x)=\int_{0}^{x^2}f(t)dt$，要求$F^\prime(x)$。
设$u(x)=x^2$，根据上述变上限积分求导公式可得：
$F^\prime(x)=f(u(x))\cdot u^\prime(x)$
对$u(x)=x^2$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$u^\prime(x)=\frac{d}{dx}(x^2)=2x$。
将$u(x)=x^2$和$u^\prime(x)=2x$代入$F^\prime(x)=f(u(x))\cdot u^\prime(x)$，得到$F^\prime(x)=f(x^2)\cdot 2x$。
例2
设$p(x)=\int_{1}^{\sin x}\sin t^2dt$，要求$p^\prime(x)$。
设被积函数$f(t)=\sin t^2$，积分上限$u(x)=\sin x$。
根据变上限积分求导公式$p^\prime(x)=f(u(x))\cdot u^\prime(x)$。
对$u(x)=\sin x$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$u^\prime(x)=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$。
将$u(x)=\sin x$和$u^\prime(x)=\cos x$代入$p^\prime(x)=f(u(x))\cdot u^\prime(x)$，得到$p^\prime(x)=\sin((\sin x)^2)\cdot\cos x=\sin(\sin^2 x)\cdot\cos x$。
例3
设$y=\int_{0}^{x^2}e^tdt$，要求$dy$。
我们先求$\frac{dy}{dx}$，再将其写成微分形式$dy=\frac{dy}{dx}dx$。
设被积函数$f(t)=e^t$，积分上限$u(x)=x^2$。
根据变上限积分求导公式$\frac{dy}{dx}=f(u(x))\cdot u^\prime(x)$。
对$u(x)=x^2$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$u^\prime(x)=\frac{d}{dx}(x^2)=2x$。
将$u(x)=x^2$和$u^\prime(x)=2x$代入$\frac{dy}{dx}=f(u(x))\cdot u^\prime(x)$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{x^2}\cdot 2x$。
所以$dy=\frac{dy}{dx}dx=e^{x^2}\cdot 2x dx$，故答案选D。