若方程组 } lambda x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 lambda x_2 + x_3 = 0 x_1 + x_2 = 0 有非零解，则 lambda = ________.

本题考查齐次线性方程组有非零解的条件，解题思路是先将方程组写成矩阵形式，根据齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的行列式为零，计算出系数矩阵的行列式，再令行列式等于零，进而求解出 $\lambda$ 的值。

1. 将方程组写成矩阵形式：
   已知方程组 $\begin{cases} \lambda x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\ \lambda x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + x_2 = 0 \end{cases}$，可写成矩阵形式 $\begin{pmatrix}\lambda & 2 & 1 \\0 & \lambda & 1 \\1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\0\end{pmatrix}$，其中系数矩阵 $A = \begin{pmatrix}\lambda & 2 & 1 \\0 & \lambda & 1 \\1 & 1 & 0\end{pmatrix}$。
2. 计算系数矩阵的行列式：
   根据三阶行列式的计算公式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，对于系数矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A) = \begin{vmatrix}\lambda & 2 & 1 \\0 & \lambda & 1 \\1 & 1 & 0\end{vmatrix}$，有：
   $\begin{align*} \det(A)&=\lambda\begin{vmatrix}\lambda & 1 \\1 & 0\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}0 & \lambda \\1 & 1\end{vmatrix}\\ &=\lambda(\lambda\times0 - 1\times1) - 2(0\times0 - 1\times1) + 1(0\times1 - \lambda\times1)\\ &=\lambda(-1) - 2(-1) + 1(-\lambda)\\ &=-\lambda + 2 - \lambda\\ &= 2 - 2\lambda \end{align*}$
3. 令行列式为零求解 $\lambda$：
   因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的行列式为零，所以令 $\det(A)=0$，即 $2 - 2\lambda = 0$。
   移项可得 $2\lambda = 2$，两边同时除以 $2$，解得 $\lambda = 1$。