记 P(A) 为集合 A 的幂集，下列结论正确的有（）。A. |A| = 2^|P(A)|B. P(A) = 2^|A|C. |P(A)| = 2^|A|D. |P(A)| geq |A|

本题主要考查集合的幂集以及幂集基数的相关知识。解题的关键在于理解幂集的定义，明确幂集基数与原集合基数之间的关系，然后据此对每个选项进行分析判断。

选项A分析

已知幂集的性质，对于集合$A$，其幂集$P(A)$的基数$\vert P(A)\vert$满足$\vert P(A)\vert = 2^{\vert A\vert}$。
而选项A给出的等式是$\vert A\vert = 2^{\vert P(A)\vert}$，将$\vert P(A)\vert = 2^{\vert A\vert}$代入该等式右边可得$2^{2^{\vert A\vert}}$，显然$\vert A\vert\neq 2^{2^{\vert A\vert}}$，所以选项A错误。

选项B分析

$P(A)$表示集合$A$的幂集，它是一个由集合$A$的所有子集构成的集合，是集合的范畴。
而$2^{\vert A\vert}$是一个数值，它表示集合$A$的幂集$P(A)$中元素的个数，即幂集的基数。集合和数值是不同类型的对象，不能直接相等，所以选项B错误。

选项C分析

根据幂集的定义，若集合$A$中有$n$个元素，即$\vert A\vert = n$，那么从$n$个元素中选取$0$个元素组成子集的方法有$C_{n}^0$种，选取$1$个元素组成子集的方法有$C_{n}^1$种，以此类推，选取$n$个元素组成子集的方法有$C_{n}^n$种。
根据二项式定理$(a + b)^n = C_{n}^0a^n b^0 + C_{n}^1a^{n - 1}b^1 + \cdots + C_{n}^n a^0 b^n$，当$a = b = 1$时，$(1 + 1)^n = C_{n}^0 + C_{n}^1 + \cdots + C_{n}^n = 2^n$。
这意味着集合$A$的子集个数为$2^n$，也就是幂集$P(A)$中元素的个数为$2^n$，即$\vert P(A)\vert = 2^{\vert A\vert}$，所以选项C正确。

选项D分析

由选项C可知$\vert P(A)\vert = 2^{\vert A\vert}$，设$n = \vert A\vert$，$n$为非负整数。
当$n = 0$时，$2^0 = 1$，$1\gt 0$；当$n = 1$时，$2^1 = 2$，$2\gt 1$；当$n = 2$时，$2^2 = 4$，$4\gt 2$；当$n\geq 3$时，通过数学归纳法可以证明$2^n\gt n$。
综上，对于任意非负整数$n$，$2^n\geq n$恒成立，即$\vert P(A)\vert \geq \vert A\vert$，所以选项D正确。