计算∮∮(x-2y)dydz + (3y-z)dzdx +(3x-2z)dxdy,其中∑是由x=0,y=0,z=0及x/1 + y/2 +z/3=1在第一卦限中所围成的立体的表面的外侧

步骤 1：确定积分区域
题目中给出的积分区域是由平面 x=0, y=0, z=0 和平面 x/1 + y/2 + z/3 = 1 在第一卦限中所围成的立体的表面的外侧。这个立体是一个四面体，其顶点为 (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3) 和原点 (0,0,0)。

步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（也称为散度定理）表明，对于一个闭合曲面 S，其上的向量场 F 的通量等于该向量场在由 S 所围成的体积 V 内的散度的积分。即：
\[ \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \]
其中，\(\mathbf{F} = (x-2y, 3y-z, 3x-2z)\)。

步骤 3：计算散度
计算向量场 \(\mathbf{F}\) 的散度：
\[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x-2y) + \frac{\partial}{\partial y}(3y-z) + \frac{\partial}{\partial z}(3x-2z) = 1 + 3 - 2 = 2 \]

步骤 4：计算体积积分
由于散度是常数 2，体积积分简化为体积 V 的两倍。四面体的体积 V 可以通过其顶点坐标计算，体积公式为：
\[ V = \frac{1}{6} \times \text{底面积} \times \text{高} \]
这里，底面积是三角形 (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3) 的面积，高是 z 轴上的高度，即 3。因此，体积 V 为：
\[ V = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times 3 = 1 \]
所以，体积积分为：
\[ \iiint_{V} 2 \, dV = 2 \times V = 2 \times 1 = 2 \]