5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:-|||-(x)arrow A (x)arrow infty (x)arrow +infty (x)arrow -infty -|||-forall egt 0,-|||-gt 0,-|||-x→x0 使当 lt |x-(x)_(0)|lt 8 时,-|||-即有 |f(x)-A|lt e.-|||-arrow (x)_(0)+-|||-arrow (x)_(0)-|||-forall Mgt 0,-|||-gt 0,-|||-x→∞-|||-使当 |x|gt x 时,-|||-即有 |f(x)|gt M.-|||-arrow +infty -|||-arrow -infty

本题考查函数极限与无穷大定义的对应关系，需要根据不同的极限形式（如$f(x)\rightarrow A$、$f(x)\rightarrow \infty$等）和自变量的变化趋势（如$x\rightarrow x_0$、$x\rightarrow +\infty$等），填写对应的条件和结论。解题核心在于：

1. 明确极限类型：区分函数趋向有限值、无穷大、正无穷、负无穷；
2. 匹配定义结构：根据极限类型，选择对应的定义条件（如$\forall \varepsilon>0$或$\forall M>0$）和结论（如$|f(x)-A|<\varepsilon$或$f(x)>M$）；
3. 注意自变量趋势：区分$x\rightarrow x_0$时的邻域控制（用$\delta$）和$x\rightarrow \infty$时的远离原点控制（用$X$）。

表格填写逻辑

1. $f(x)\rightarrow A$：

   • 条件：$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$；
   • 结论：$|f(x)-A|<\varepsilon$；
   • 自变量趋势：
     • $x\rightarrow x_0$时，$0<|x-x_0|<\delta$；
     • $x\rightarrow \infty$时，$|x|>X$。

2. $f(x)\rightarrow \infty$：

   • 条件：$\forall M>0$，$\exists \delta>0$（或$X>0$）；
   • 结论：$|f(x)|>M$；
   • 自变量趋势同上。

3. $f(x)\rightarrow +\infty$：

   • 结论：$f(x)>M$；
   • 其余同$f(x)\rightarrow \infty$。

4. $f(x)\rightarrow -\infty$：

   • 结论：$f(x)<-M$；
   • 其余同$f(x)\rightarrow \infty$。

易错点

• 混淆$\varepsilon$与$M$：$f(x)\rightarrow A$用$\varepsilon$，无穷大用$M$；
• 符号方向：$+\infty$需$f(x)>M$，$-\infty$需$f(x)<-M$；
• 自变量控制：$x\rightarrow x_0$用$\delta$，$x\rightarrow \infty$用$X$。