下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化-|||-趋势,写出它们的极限:-|||-(1) dfrac {1)({2)^n}} ;-|||-(2) {(-1))^ndfrac (1)(n)} ;-|||-(3) 2+dfrac {1)({n)^2}} ;-|||-(4)[n+1]-|||-(5) n{(-1))^n} ;-|||-(6) dfrac {{2)^n-1}({3)^n}} -|||-(7) n-dfrac {1)(n)} ;-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)}

考查要点：数列收敛与发散的判断，极限的计算。
解题思路：

1. 收敛数列的极限存在且唯一，需判断数列是否趋向某个固定值；
2. 发散数列的极限不存在（如振荡、趋向无穷大）；
3. 关键方法：观察通项趋势、拆分项、分子分母同除以最高次项、利用极限运算法则等。

(1) $\left\{ \dfrac{1}{2^n} \right\}$

分析：分母为指数函数$2^n$，随$n$增大，分母增长极快，整体趋近于$0$。
结论：收敛，极限为$0$。

(2) $\left\{ (-1)^n \dfrac{1}{n} \right\}$

分析：绝对值部分$\dfrac{1}{n}$单调递减趋于$0$，符号交替不影响极限存在性。
结论：收敛，极限为$0$。

(3) $\left\{ 2 + \dfrac{1}{n^2} \right\}$

分析：$\dfrac{1}{n^2}$随$n$增大趋近于$0$，整体趋近于$2 + 0 = 2$。
结论：收敛，极限为$2$。

(4) $\left\{ \dfrac{n-1}{n+1} \right\}$

分析：分子分母同除以$n$，得$\dfrac{1 - \dfrac{1}{n}}{1 + \dfrac{1}{n}}$，当$n \to \infty$时，$\dfrac{1}{n} \to 0$，极限为$1$。
结论：收敛，极限为$1$。

(5) $\left\{ n(-1)^n \right\}$

分析：绝对值$n$单调递增趋向$+\infty$，符号交替导致数列振荡发散。
结论：发散。

(6) $\left\{ \dfrac{2^n - 1}{3^n} \right\}$

分析：拆分为$\dfrac{2^n}{3^n} - \dfrac{1}{3^n}$，两部分均趋近于$0$（因$\dfrac{2}{3} < 1$）。
结论：收敛，极限为$0$。

(7) $\left\{ n - \dfrac{1}{n} \right\}$

分析：$n$趋向$+\infty$，$\dfrac{1}{n}$趋向$0$，整体趋向$+\infty$。
结论：发散。

(8) $\left\{ \left[ (-1)^n + 1 \right] \dfrac{n+1}{n} \right\}$

分析：

• 当$n$为偶数：$(-1)^n = 1$，表达式为$2 \cdot \dfrac{n+1}{n} \to 2$；
• 当$n$为奇数：$(-1)^n = -1$，表达式为$0 \cdot \dfrac{n+1}{n} = 0$。
  子列极限不同，整体发散。
  结论：发散。