题目

(19) (本题满分12分)已知y(x)满足x^2y^n+xy'-9y=0,满足y(1)=2,y'(1)=6(1)利用变换x=e^t将上述方程化为常系数线性方程，并求y(x);(2)计算int_(1)^2y(x)sqrt(4-x^2)dx

(19) (本题满分12分)已知y(x)满足$x^{2}y^{n}+xy'-9y=0$,满足y(1)=2,y'(1)=6 (1)利用变换$x=e^{t}$将上述方程化为常系数线性方程，并求y(x); (2)计算$\int_{1}^{2}y(x)\sqrt{4-x^{2}}dx$

题目解答

答案

(1) **变换与求解** 令 $x = e^t$，则 $y' = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt}$，$y'' = \frac{1}{x^2} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right)$。代入原方程得： \[ \frac{d^2y}{dt^2} - 9y = 0 \] 特征根为 $r = \pm 3$，通解为： \[ y(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{3t} \] 转换回 $x$： \[ y(x) = \frac{C_1}{x^3} + C_2 x^3 \] 由初始条件 $y(1) = 2$，$y'(1) = 6$，解得 $C_1 = 0$，$C_2 = 2$，故： \[ \boxed{y(x) = 2x^3} \] (2) **计算积分** 令 $x = 2\sin\theta$，则： \[ \int_{1}^{2} 2x^3 \sqrt{4-x^2} \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 64 \sin^3\theta \cos^2\theta \, d\theta = \frac{22\sqrt{3}}{5} \] **答案** \[ \boxed{\frac{22\sqrt{3}}{5}} \]

解析

题目考察知识

  • 欧拉方程：二阶欧拉方程的形式为$x^2y''+xy'+py=0$$，通过变换$x=e^t$可转化为常系数线性方程。
  • 常系数线性微分方程求解：通过特征方程求通解，再用初始条件定系数。
  • 定积分计算：含$\sqrt{a^2-x^2}$的积分，用三角换元$x=a\sin\theta$，结合幂函数积分公式计算。

详细解题思路

(1. 变换欧拉方程为常系数线性方程并求解$y(x)$

  • 变量替换：令$x=e^t$，t=\ln x$，则：
    • 一阶导数：$y'=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}$
    • 二阶导数：$y''=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\right)=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)$
  • 代入原方程：
    原方程$x^2y''+xy'-9y=0$，代入导数表达式得：
    $\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}+ \frac{dy}{dt}-9y=0\implies\frac{d^2y}{dt^2}-9y=0$
  • 解ferential常系数方程：特征方程$r^2-9=0$，根$r=\pm3$，通解$y(t)=C_1e^{-3t}+C2e^{3t}$
  • 换回$x$：$e^{-3t}=x^{-3},\ e^{3t}=x^3$，故$y(x)=C1x^{-3}+C2x^3$
  • 定系数：
    • $y(1)=C1+C2=2$
    • $y'(x)=-3C1x^{-4}+3C2x^2$，$y'(1)=-3C1+3C2=6\implies-C1+C2=2$
      联立解得$C1=0,C2=2$，故$y(x)=2x^3$

2. 计算积分$\int_{1}^{2}y(x)\sqrt{4-x^2}dx$

  • 被积函数：$y(x)\sqrt{4-x^2}=2x^3\sqrt{4-x^2}$
  • 三角换元：令$x=2\sin\theta$，则$dx=2\cos\theta d\theta$，$\sqrt{4-x^2}=2\cos\theta$
    • 当$x=1$时，$\sin\theta=\frac{1}{2}\implies\theta=\frac{\pi}{6}$；当$x=2$时，$\sin\theta=1\implies\theta=\frac{\pi}{2}$
  • 积分转化：
    $\int_{1}^{2}2x^3\sqrt{4-x^2}dx=\int_{\pi/6}^{\pi/2}2(2\sin\theta)^3(2\cos\theta)\cdot2\cos\theta d\theta$
    $=2\cdot8\sin^3\theta\cdot4\cos^2\theta d\theta=64\int_{\pi/6}^{\pi/2}\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta$
  • 计算积分：
    $\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta=\int(1-\cos^2\theta)\cos^2\theta\sin\theta d\theta$
    令$u=\cos\theta$，$du=-\sin\theta d\theta$，则：
    $\int(1-u^2)u^2(-du)=\int(u^4-u^2)du=\frac{1}{5}u^5-\frac{1}{3}u^3+C$
    代入上下限：
    $64\left[\left(\frac{1}{5}\cos^5\theta-\frac{1}{3}\cos^3\theta)\right]_{\pi/6}^{\pi/2}$
    • $\theta=\pi/2$时，$\cos\theta=0$，值为$0$
    • $\theta=\pi/6$时，$\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos^3\theta=\frac{38\sqrt{3}$，$\cos^5\theta=\frac{9}{32}\sqrt{3}$
      计算fracfrac{1}{5}\cdot\frac{9}{32}\sqrt{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}\sqrt{3=\frac{9\sqrt3}{160}-\frac{\sqrt3}{8}=\frac{9\sqrt3-20\sqrt3}{160}=-\frac{11\sqrt3}{160}$
      故积分$=64\times\left[0-(-\frac{11\sqrt3}{160})\right]=64\times\frac{11\sqrt3}{160}=\frac{22\sqrt3}{5}$