题目

(3) lim _(xarrow infty )xsin dfrac (x)(2{x)^2+1} ,

题目解答

答案

解析

本题考查的知识点是极限的计算以及等价无穷小的替换。解题思路如下：

  1. 首先判断当$x\to\infty$时，$\frac{x}{2x^{2}+1}$的极限情况。
    • 计算$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{2x^{2}+1}$，分子分母同时除以$x^{2}$，根据极限运算法则$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{2x^{2}+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x^{2}}}$。
    • 因为$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$，$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^{2}} = 0$，所以$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{0}{2 + 0}=0$。
  2. 然后利用等价无穷小替换。
    • 当$\alpha(x)\to0$时，$\sin\alpha(x)\sim\alpha(x)$，由于当$x\to\infty$时，$\alpha(x)=\frac{x}{2x^{2}+1}\to0$，所以$\sin\frac{x}{2x^{2}+1}\sim\frac{x}{2x^{2}+1}(x\to\infty)$。
    • 那么$\lim_{x\rightarrow\infty}x\sin\frac{x}{2x^{2}+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}x\cdot\frac{x}{2x^{2}+1}$。
  3. 最后计算极限$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}}{2x^{2}+1}$。
    • 分子分母同时除以$x^{2}$，$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}}{2x^{2}+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2+\frac{1}{x^{2}}}$。
    • 因为$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^{2}} = 0$，所以$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{2 + 0}=\frac{1}{2}$。