lim _(xarrow 0)dfrac (sqrt {1+x)+sqrt (1-x)-2}(sqrt {1+{x)^2}-1}

本题主要考察极限的计算，涉及无理式的极限求解，关键思路是通过分子分母有理化消去极限中的零因子（$x \to 0$时的$0$项），再利用等价无穷小替换或直接代入计算。

步骤1：识别零因子，分子分母分别有理化

当$x \to 0$)时，分子$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2 \to 0$，分母$\sqrt{1+x^2}-1 \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型极限，需先消去零因子。

分母有理化

分母$\sqrt{1+x^2}-1$乘以共轭根式$\(\sqrt{1+x^2}+1$)：
$\sqrt{1+x^2}-1 = \frac{(\sqrt{1+x^2 -1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{\sqrt{1+x^2}+1} = \frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}+1} = \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1} \quad(1)$

分子有理化

分子$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2$分组处理：
$\sqrt{1+x}-1 + \sqrt{1-x}-1$
对每组分别乘以共轭根式：

• $\sqrt{1+x}-1 = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{x}{\sqrt{1+x}+1}$
• $\sqrt{1-x}-1 = \frac{(\sqrt{1-x}-1)(\sqrt{1-x}+1)\}/(\sqrt{1-x}+1) = \frac{-x}{\sqrt{1-x}+1}$

分子相加：
$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2 = x\left( \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} - \frac{1}{\sqrt{1-x}+1}\right)$
通分：
$x\left[ \frac{(\sqrt{1-x}+1) - (\sqrt{1+x}+1)}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)} \right] = x\left[ \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)} \right]$
对$\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x$再次有理化：
$\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x} = \frac{(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}})(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})} = \frac{(1-x)-(1+x)}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}} = \frac{-2x}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}$
代入分子：
$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2 = x\left[ \frac{-2x\}/(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \right] / [(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x+1)] = \frac{-2x^2}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)(\1-x+\sqrt{1+x})}\quad(2)$

步骤2：代入原式化简

将式(1)、式(2)代入原式：
$\text{原式} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-2x^2}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})}}{\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1}}$
约去$x^2$：
$\text{原式} = \lim_{x \to 0} \frac{-2}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})} \cdot (\sqrt{1+x^2}+1)$

步骤3：代入$x=0$计算极限

当$x \to 0$时，$\sqrt{1+x} \to 1}$，$\sqrt{1-x} \to 1$，$\sqrt{1+x^2} \to 1$，代入得：
$\text{原式} = \frac{-2}{(1+1)(1+1)(1+1)} \cdot (1+1) = \frac{-2}{2 \times 2 \times 2} \times 2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$