题目
A 、B 两 村在一条笔直公路的同侧 ，到公路的垂直距离分别是 3 公里 和 7 公里 ，两村相距 8.5 公里， 现需在公路边建一个物资集散中心 ，为节约物资配送成本 ，集散中心到两个村的直线路程之和应尽可能小 。若货车的速度约为 60 公里 / 小时， 那么货车从集散中心出发， 到两村送货后返回中心 ，路途所花费的最少时间为（ ）A. 18 分钟 B. 21 分钟 C.24 分钟D.27 分钟
A 、B 两 村在一条笔直公路的同侧 ，到公路的垂直距离分别是 3 公里 和 7 公里 ，两村相距 8.5 公里， 现需在公路边建一个物资集散中心 ，为节约物资配送成本 ，集散中心到两个村的直线路程之和应尽可能小 。若货车的速度约为 60 公里 / 小时， 那么货车从集散中心出发， 到两村送货后返回中心 ，路途所花费的最少时间为（ ）
A. 18 分钟
B. 21 分钟
C.24 分钟
D.27 分钟
题目解答
答案
过公路作A点的对称点
,交公路于点E，过B点作公路的垂线，垂足为D,过作
,过A作AC⊥BC,则四边形ACDE和ACC'A'为矩形。连接A'B，交ED于点O，O即为集散中心，A'B是到两个村的最小直线路程。如下图：
∵已知AE=3，BD=7,则BC=4;已知AB=8.5,在△ABC中，
∴A'C'=7.5
∵BC'=BD+DC'=7+3=10
∴在△A'BC'中，
∴货车到两村送货后返回中心，最短距离为：OA+AB+BO=12.5+8.5=21公里
∵货车的速度约为 60 公里 / 小时
∴路途所花费的最短时间为
分钟
故本题答案为B
解析
步骤 1：确定集散中心的位置
- 为了使集散中心到两个村的直线路程之和最小，我们可以通过对称点的方法来确定集散中心的位置。具体来说，我们过公路作A点的对称点A'，交公路于点E，过B点作公路的垂线，垂足为D，过A'作$A'C'\bot BC'$，过A作AC⊥BC，这样四边形ACDE和ACC'A'为矩形。连接A'B，交ED于点O，O即为集散中心，A'B是到两个村的最小直线路程。
步骤 2：计算A'B的长度
- 已知AE=3，BD=7，则BC=4；已知AB=8.5，在△ABC中，$AC=\sqrt {{AB}^{2}-{BC}^{2}}=\sqrt {{8.5}^{2}-{4}^{2}}=\sqrt {56.25}=7.5$。因此，A'C'=7.5。又因为BC'=BD+DC'=7+3=10，所以在△A'BC'中，$A'B=\sqrt {{BC'}^{2}+{A'C'}^{2}}=\sqrt {{10}^{2}+{7.5}^{2}}=\sqrt {156.25}=12.5$。
步骤 3：计算货车的最短路程
- 货车到两村送货后返回中心，最短距离为：OA+AB+BO=12.5+8.5=21公里。
步骤 4：计算货车的最短时间
- 货车的速度约为 60 公里 / 小时，因此路途所花费的最短时间为$\dfrac {21}{60}\times 60=21$分钟。
- 为了使集散中心到两个村的直线路程之和最小，我们可以通过对称点的方法来确定集散中心的位置。具体来说，我们过公路作A点的对称点A'，交公路于点E，过B点作公路的垂线，垂足为D，过A'作$A'C'\bot BC'$，过A作AC⊥BC，这样四边形ACDE和ACC'A'为矩形。连接A'B，交ED于点O，O即为集散中心，A'B是到两个村的最小直线路程。
步骤 2：计算A'B的长度
- 已知AE=3，BD=7，则BC=4；已知AB=8.5，在△ABC中，$AC=\sqrt {{AB}^{2}-{BC}^{2}}=\sqrt {{8.5}^{2}-{4}^{2}}=\sqrt {56.25}=7.5$。因此，A'C'=7.5。又因为BC'=BD+DC'=7+3=10，所以在△A'BC'中，$A'B=\sqrt {{BC'}^{2}+{A'C'}^{2}}=\sqrt {{10}^{2}+{7.5}^{2}}=\sqrt {156.25}=12.5$。
步骤 3：计算货车的最短路程
- 货车到两村送货后返回中心，最短距离为：OA+AB+BO=12.5+8.5=21公里。
步骤 4：计算货车的最短时间
- 货车的速度约为 60 公里 / 小时，因此路途所花费的最短时间为$\dfrac {21}{60}\times 60=21$分钟。