关于二重积分的定义，以下哪些说法正确？A. 二重积分的被积函数必须是连续的B. 二重积分可以表示曲面下的体积C. 二重积分的积分区域可以是不连通的D. 二重积分只能用于计算平面区域的面积

本题考查二重积分的定义及相关性质，解题思路是根据二重积分的定义和性质，对每个选项逐一进行分析判断。

• 选项A：
  二重积分的定义并不要求被积函数必须是连续的。根据二重积分的定义，设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n$，其中 $\Delta\sigma_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的面积，在每个 $\Delta\sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作乘积 $f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$（$i = 1,2,\cdots,n$），并作和 $\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$，如果当各小闭区域的直径中的最大值 $\lambda$ 趋于零时，这和的极限总存在，且与闭区域 $D$ 的分法及点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，那么称此极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分。即使函数 $f(x,y)$ 不连续，只要满足一定条件（如在 $D$ 上可积），二重积分依然存在。所以选项A错误。
• 选项B：
  当被积函数 $z = f(x,y)\geq0$ 时，二重积分 $\iint_{D}f(x,y)d\sigma$ 的几何意义是曲顶柱体的体积，其中曲顶柱体的顶是曲面 $z = f(x,y)$，底是 $xOy$ 平面上的闭区域 $D$。当 $f(x,y)$ 有正有负时，二重积分表示的是 $xOy$ 平面上方的体积减去 $xOy$ 平面下方的体积。所以二重积分可以表示曲面下的体积，选项B正确。
• 选项C：
  二重积分的积分区域可以是不连通的。例如，设 $D = D_1\cup D_2$，其中 $D_1$ 和 $D_2$ 是两个不相交的闭区域，那么 $\iint_{D}f(x,y)d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma$。所以积分区域可以是不连通的，选项C正确。
• 选项D：
  当被积函数 $f(x,y)=1$ 时，二重积分 $\iint_{D}1\cdot d\sigma=\iint_{D}d\sigma$ 表示积分区域 $D$ 的面积，但二重积分的应用不仅仅局限于计算平面区域的面积，还可以用于计算质量、重心、转动惯量等物理量。所以选项D错误。