题目

一、单项选择题（以下四个选项中只有一个正确答案，未选、错选、多选均不得分。本大题共6小题，每小题3分，共18分。）1.下列选项中都是4阶行列式展开式中的项，其中带负号的项是（）A.a_(42)a_(13)a_(31)a_(24) B.a_(14)a_(23)a_(32)a_(41) C.a_(31)a_(12)a_(44)a_(23) D.a_(44)a_(22)a_(31)a_(13)

一、单项选择题（以下四个选项中只有一个正确答案，未选、错选、多选均不得分。本大题共6小题，每小题3分，共18分。） 1.下列选项中都是4阶行列式展开式中的项，其中带负号的项是（） A.$a_{42}a_{13}a_{31}a_{24}$ B.$a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$ C.$a_{31}a_{12}a_{44}a_{23}$ D.$a_{44}a_{22}a_{31}a_{13}$

题目解答

答案

4阶行列式展开式中，项的形式为 $a_{1p_1} a_{2p_2} a_{3p_3} a_{4p_4}$，其中 $(p_1, p_2, p_3, p_4)$ 是1到4的排列。项的符号由排列的逆序数决定：偶排列为正，奇排列为负。
选项分析：
A. $a_{42} a_{13} a_{31} a_{24}$ 可重写为 $a_{13} a_{24} a_{31} a_{42}$，排列为 $(3, 4, 1, 2)$，逆序数为4（偶），为正。
B. $a_{14} a_{23} a_{32} a_{41}$ 排列为 $(4, 3, 2, 1)$，逆序数为6（偶），为正。
C. $a_{31} a_{12} a_{44} a_{23}$ 可重写为 $a_{12} a_{23} a_{31} a_{44}$，排列为 $(2, 3, 1, 4)$，逆序数为2（偶），为正。
D. $a_{44} a_{22} a_{31} a_{13}$ 可重写为 $a_{13} a_{22} a_{31} a_{44}$，排列为 $(3, 2, 1, 4)$，逆序数为3（奇），为负。

答案： $\boxed{D}$

解析

本题考查4阶行列式展开式中项的符号判断，解题的关键在于明确4阶行列式展开式中项的形式以及项的符号由列标排列的逆序数决定，偶排列为正，奇排列为负。

  1. 分析选项A：
    • 对于项$a_{42}a_{13}a_{31}a_{24}$，根据行列式展开式中项的形式$a_{1p_1} a_{2p_2} a_{3p_3} a_{4p_4}$，将其重写为$a_{13} a_{24} a_{31} a_{42}$，此时列标排列为$(3, 4, 1, 2)$。
    • 计算逆序数：在排列$(3, 4, 1, 2)$中，$3$后面比$3$小的数有$1$、$2$，共$2$个；$4$后面比$4$小的数有$1$、$2$，共$2$个；$1$和$2$后面没有比它们小的数。所以逆序数$t = 2 + 2 = 4$，$4$是偶数，该项符号为正。
  2. 分析选项B：
    • 项$a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$的列标排列为$(4, 3, 2, 1)$。
    • 计算逆序数：在排列$(4, 3, 2, 1)$中，$4$后面比$4$小的数有$3$、$2$、$1$，共$3$个；$3$后面比$3$小的数有$2$、$1$，共$2$个；$2$后面比$2$小的数有$1$，共$1$个。所以逆序数$t = 3 + 2 + 1 = 6$，$6$是偶数，该项符号为正。
  3. 分析选项C：
    • 对于项$a_{31}a_{12}a_{44}a_{23}$，重写为$a_{12} a_{23} a_{31} a_{44}$，列标排列为$(2, 3, 1, 4)$。
    • 计算逆序数：在排列$(2, 3, 1, 4)$中，$2$后面比$2$小的数有$1$，共$1$个；$3$后面比$3$小的数有$1$，共$1$个；$1$和$4$后面没有比它们小的数。所以逆序数$t = 1 + 1 = 2$，$2$是偶数，该项符号为正。
  4. 分析选项D：
    • 项$a_{44}a_{22}a_{31}a_{13}$重写为$a_{13} a_{22} a_{31} a_{44}$，列标排列为$(3, 2, 1, 4)$。
    • 计算逆序数：在排列$(3, 2, 1, 4)$中，$3$后面比$3$小的数有$2$、$1$，共$2$个；$2$后面比$2$小的数有$1$，共$1$个；$1$和$4$后面没有比它们小的数。所以逆序数$t = 2 + 1 = 3$，$3$是奇数，该项符号为负。