微分方程^(n)=(e)^ax+(x)^b的通解为（ ）^(n)=(e)^ax+(x)^b^(n)=(e)^ax+(x)^b^(n)=(e)^ax+(x)^b^(n)=(e)^ax+(x)^b^(n)=(e)^ax+(x)^b^(n)=(e)^ax+(x)^b^(n)=(e)^ax+(x)^b^(n)=(e)^ax+(x)^b

本题考查n阶常系数非齐次线性微分方程的通解求解。解题核心思路是：

1. 齐次方程的通解：对应特征方程$r^n=0$，特征根为0（n重根），齐次解为多项式形式。
2. 非齐次方程的特解：
   • 指数项$e^{ax}$：若$a$不是特征根，特解形式为$Ae^{ax}$，通过待定系数法确定$A$。
   • 多项式项$x^b$：若$b$不与齐次解中的幂次冲突，特解形式为$Kx^{b+n}$，通过求导确定$K$。
3. 通解结构：齐次解+特解之和。

齐次方程通解

齐次方程$y^{(n)}=0$的特征方程为$r^n=0$，根为$r=0$（n重根）。齐次解为：
$y_h = C_1x^{n-1} + C_2x^{n-2} + \cdots + C_{n-1}x + C_n$

非齐次方程特解

1. 指数项$e^{ax}$：

   • 假设特解为$y_{p1} = Ae^{ax}$，代入方程得：
     $Aa^n e^{ax} = e^{ax} \implies A = \frac{1}{a^n}$
   • 特解为$y_{p1} = \frac{1}{a^n}e^{ax}$。

2. 多项式项$x^b$：

   • 由于齐次解中包含$x^k$（$k=0,1,\dots,n-1$），若$b \geq 0$，需将特解形式设为$y_{p2} = Kx^{b+n}$。
   • 计算n阶导数：
     $y_{p2}^{(n)} = K(b+n)(b+n-1)\cdots(b+1)x^b$
   • 代入方程得：
     $K(b+n)(b+n-1)\cdots(b+1) = 1 \implies K = \frac{1}{(b+n)(b+n-1)\cdots(b+1)}$
   • 特解为$y_{p2} = \frac{1}{(b+n)(b+n-1)\cdots(b+1)}x^{b+n}$。

通解合成

通解为齐次解+特解之和：
$y = \frac{1}{a^n}e^{ax} + \frac{1}{(b+n)(b+n-1)\cdots(b+1)}x^{b+n} + C_1x^{n-1} + \cdots + C_n$