题目
第一类曲线积分I=J |(z+1)^2ds,其中L是I=J |(z+1)^2ds 与平面I=J |(z+1)^2ds的交线, 则I=J |(z+1)^2ds( )A. I=J |(z+1)^2dsB. I=J |(z+1)^2dsC. I=J |(z+1)^2dsD. I=J |(z+1)^2ds
第一类曲线积分
,其中L是
与平面
的交线, 则
( )
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
首先，联立方程
消去 z，得到
.
这是一个椭圆方程，其参数方程可以表示为
其中
。
接下来，求 
，即
.
然后，代入被积函数
，得到
.
展开并积分，得到
.
由于
和
，所以
.
故答案为：D. 
。
解析
步骤 1：联立方程
联立球面方程${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1$与平面方程$x+y+z=0$，消去z，得到${x}^{2}+{y}^{2}+{(x+y)}^{2}=1$，即$2{x}^{2}+2xy+2{y}^{2}=1$，进一步化简得到${x}^{2}+xy+{y}^{2}=\dfrac {1}{2}$。这是一个椭圆方程。
步骤 2：参数方程
椭圆方程${x}^{2}+xy+{y}^{2}=\dfrac {1}{2}$的参数方程可以表示为$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}\cos \theta -\dfrac {\sqrt {2}}{2}\sin \theta$，$y=\dfrac {\sqrt {2}}{2}\cos \theta +\dfrac {\sqrt {2}}{2}\sin \theta$，其中$\theta \in [ 0,2\pi ]$。根据平面方程$x+y+z=0$，可以得到$z=-x-y=-\dfrac {\sqrt {2}}{2}\cos \theta$。
步骤 3：计算ds
根据参数方程，计算$ds=\sqrt {x'(\theta )}^{2}+y'{(\theta )}^{2}+z'{(\theta )}^{2}d\theta =\sqrt {\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{6}+\dfrac {1}{2}}d\theta =\sqrt {1}d\theta =d\theta$。
步骤 4：代入被积函数
代入被积函数${(z+1)}^{2}$，得到$I={\int }_{0}^{2\pi }{(-\dfrac {\sqrt {2}}{2}\cos \theta +1)}^{2}d\theta$。
步骤 5：展开并积分
展开并积分，得到$I=2{\int }_{0}^{2\pi }(\dfrac {1}{2}{\cos }^{2}\theta -\sqrt {2}\cos \theta +1)d\theta =\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}\theta d\theta -\sqrt {2}{\int }_{0}^{2\pi }\cos \theta d\theta +2\pi$。由于${\int }_{0}^{2\pi }\cos \theta d\theta =0$和${\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}\theta d\theta =\pi$，所以$I=\dfrac {1}{2}\pi -0+2\pi =\dfrac {5}{2}\pi =\dfrac {10\pi }{3}$。
联立球面方程${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1$与平面方程$x+y+z=0$，消去z，得到${x}^{2}+{y}^{2}+{(x+y)}^{2}=1$，即$2{x}^{2}+2xy+2{y}^{2}=1$，进一步化简得到${x}^{2}+xy+{y}^{2}=\dfrac {1}{2}$。这是一个椭圆方程。
步骤 2：参数方程
椭圆方程${x}^{2}+xy+{y}^{2}=\dfrac {1}{2}$的参数方程可以表示为$x=\dfrac {\sqrt {2}}{2}\cos \theta -\dfrac {\sqrt {2}}{2}\sin \theta$，$y=\dfrac {\sqrt {2}}{2}\cos \theta +\dfrac {\sqrt {2}}{2}\sin \theta$，其中$\theta \in [ 0,2\pi ]$。根据平面方程$x+y+z=0$，可以得到$z=-x-y=-\dfrac {\sqrt {2}}{2}\cos \theta$。
步骤 3：计算ds
根据参数方程，计算$ds=\sqrt {x'(\theta )}^{2}+y'{(\theta )}^{2}+z'{(\theta )}^{2}d\theta =\sqrt {\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{6}+\dfrac {1}{2}}d\theta =\sqrt {1}d\theta =d\theta$。
步骤 4：代入被积函数
代入被积函数${(z+1)}^{2}$，得到$I={\int }_{0}^{2\pi }{(-\dfrac {\sqrt {2}}{2}\cos \theta +1)}^{2}d\theta$。
步骤 5：展开并积分
展开并积分，得到$I=2{\int }_{0}^{2\pi }(\dfrac {1}{2}{\cos }^{2}\theta -\sqrt {2}\cos \theta +1)d\theta =\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}\theta d\theta -\sqrt {2}{\int }_{0}^{2\pi }\cos \theta d\theta +2\pi$。由于${\int }_{0}^{2\pi }\cos \theta d\theta =0$和${\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}\theta d\theta =\pi$，所以$I=\dfrac {1}{2}\pi -0+2\pi =\dfrac {5}{2}\pi =\dfrac {10\pi }{3}$。