设 =ln (1+(sin )^2x), 求dy.

本题考查复合函数求微分的知识。解题思路是先利用复合函数求导法则求出函数$y=\ln(1 + \sin^{2}x)$的导数$\frac{dy}{dx}$，再根据微分的定义$dy = \frac{dy}{dx}dx$求出$dy$。

设$t = 1 + \sin^{2}x$，则$y = \ln t$。

1. 先对$y$关于$t$求导：
   根据对数函数求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t}$，将$t = 1 + \sin^{2}x$代回，得到$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1 + \sin^{2}x}$。
2. 再对$t$关于$x$求导：
   $t = 1 + \sin^{2}x$，根据加法求导法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，常数的导数为$0$，所以$(1)^\prime = 0$，只需求$(\sin^{2}x)^\prime$。
   令$u = \sin x$，则$\sin^{2}x = u^{2}$，根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，先对$u^{2}$关于$u$求导，再乘以$u$关于$x$的导数。
   • 对$u^{2}$关于$u$求导，根据幂函数求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$(u^{2})^\prime = 2u$，将$u = \sin x$代回，得到$(\sin^{2}x)^\prime_{u}=2\sin x$。
   • 对$u = \sin x$关于$x$求导，根据正弦函数求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$(\sin x)^\prime_{x}=\cos x$。
   • 所以$(\sin^{2}x)^\prime = 2\sin x\cos x$，根据二倍角公式$\sin 2x = 2\sin x\cos x$，则$(\sin^{2}x)^\prime = \sin 2x$，那么$\frac{dt}{dx}=\sin 2x$。
3. 根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$：
   将$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1 + \sin^{2}x}$和$\frac{dt}{dx}=\sin 2x$代入，可得$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin 2x}{1 + \sin^{2}x}$。
4. 根据微分的定义$dy = \frac{dy}{dx}dx$：
   将$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin 2x}{1 + \sin^{2}x}$代入，得到$dy=\frac{\sin 2x}{1 + \sin^{2}x}dx$。