单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 6.设空间直线L及两平面Pi_(1)，Pi_(2)的方程分别为 L:(x-1)/(-1)=(y+1)/(2)=(z-3)/(-3)；Pi_(1):2x+7y+4z-1=0；Pi_(2):x-2y+3z-12=0 (A.)L平行于Pi_(1)，Pi_(1)垂直于Pi_(2)；(B.)L垂直于Pi_(1)，Pi_(1)平行于Pi_(2)； (C.)L垂直于Pi_(2)，Pi_(1)平行于Pi_(2)；(D.)L平行于Pi_(2)，Pi_(1)垂直于Pi_(2)

为了确定正确答案，我们需要分析直线 $L$ 与平面 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 之间的关系，以及平面 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 之间的关系。 ### 第一步：确定直线 $L$ 的方向向量 直线 $L$ 的方程为： \[ L: \frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{-3} \] 直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{d}$ 为 $(-1, 2, -3)$。 ### 第二步：确定平面 $\Pi_1$ 的法向量 平面 $\Pi_1$ 的方程为： \[ \Pi_1: 2x + 7y + 4z - 1 = 0 \] 平面 $\Pi_1$ 的法向量 $\mathbf{n}_1$ 为 $(2, 7, 4)$。 ### 第三步：确定平面 $\Pi_2$ 的法向量 平面 $\Pi_2$ 的方程为： \[ \Pi_2: x - 2y + 3z - 12 = 0 \] 平面 $\Pi_2$ 的法向量 $\mathbf{n}_2$ 为 $(1, -2, 3)$。 ### 第四步：检查直线 $L$ 与平面 $\Pi_1$ 之间的关系 直线 $L$ 平行于平面 $\Pi_1$，如果方向向量 $\mathbf{d}$ 与法向量 $\mathbf{n}_1$ 垂直。这意味着它们的点积为零： \[ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n}_1 = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 7 + (-3) \cdot 4 = -2 + 14 - 12 = 0 \] 由于点积为零，直线 $L$ 平行于平面 $\Pi_1$。 ### 第五步：检查直线 $L$ 与平面 $\Pi_2$ 之间的关系 直线 $L$ 平行于平面 $\Pi_2$，如果方向向量 $\mathbf{d}$ 与法向量 $\mathbf{n}_2$ 垂直。这意味着它们的点积为零： \[ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n}_2 = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + (-3) \cdot 3 = -1 - 4 - 9 = -14 \] 由于点积不为零，直线 $L$ 不平行于平面 $\Pi_2$。为了检查直线 $L$ 是否垂直于平面 $\Pi_2$，我们需要看方向向量 $\mathbf{d}$ 是否与法向量 $\mathbf{n}_2$ 平行。这意味着 $\mathbf{d}$ 应该是 $\mathbf{n}_2$ 的标量倍数。然而，$(-1, 2, -3)$ 不是 $(1, -2, 3)$ 的标量倍数，因此直线 $L$ 不垂直于平面 $\Pi_2$。 ### 第六步：检查平面 $\Pi_1$ 与平面 $\Pi_2$ 之间的关系 平面 $\Pi_1$ 垂直于平面 $\Pi_2$，如果法向量 $\mathbf{n}_1$ 与法向量 $\mathbf{n}_2$ 垂直。这意味着它们的点积为零： \[ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 2 \cdot 1 + 7 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 2 - 14 + 12 = 0 \] 由于点积为零，平面 $\Pi_1$ 垂直于平面 $\Pi_2$。 ### 第七步：检查平面 $\Pi_1$ 与平面 $\Pi_2$ 是否平行 平面 $\Pi_1$ 平行于平面 $\Pi_2$，如果法向量 $\mathbf{n}_1$ 与法向量 $\mathbf{n}_2$ 平行。这意味着 $\mathbf{n}_1$ 应该是 $\mathbf{n}_2$ 的标量倍数。然而，$(2, 7, 4)$ 不是 $(1, -2, 3)$ 的标量倍数，因此平面 $\Pi_1$ 不平行于平面 $\Pi_2$。 ### 结论 从上述分析中，我们可以得出结论： - 直线 $L$ 平行于平面 $\Pi_1$。 - 平面 $\Pi_1$ 垂直于平面 $\Pi_2$。 因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]