设xOy平面上有正方形 = (x,y)|0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 及直线 :x+y=t(tgeqslant 0).-|||-若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积,试求S(t)与t之间的函数-|||-关系.

考查要点：本题主要考查几何区域面积随参数变化的分段函数表达式，涉及直线与正方形的交点分析及分段积分计算。

解题核心思路：

1. 确定直线与正方形的交点位置，根据参数$t$的不同取值，判断直线切割正方形的位置关系。
2. 分区间讨论面积计算：
   • 当$t$较小时，直线切割正方形形成三角形区域；
   • 当$t$适中时，直线切割正方形形成梯形或五边形，需用总面积减去剩余三角形面积；
   • 当$t$足够大时，直线完全位于正方形外，面积恒为正方形总面积。
3. 验证分段点的连续性，确保函数表达式在分界点处衔接自然。

破题关键点：

• 正确划分$t$的区间（$0 \leq t \leq 1$，$1 < t \leq 2$，$t > 2$）。
• 几何图形的直观分析，避免代数计算错误。

当 $0 \leq t \leq 1$ 时

直线 $x + y = t$ 与正方形 $D$ 的交点为 $(t, 0)$ 和 $(0, t)$，左下方区域为直角三角形，面积为：
$S(t) = \frac{1}{2} t^2.$

当 $1 < t \leq 2$ 时

直线与正方形交于 $(1, t-1)$ 和 $(t-1, 1)$，左下方区域为正方形减去右上方小三角形。小三角形边长为 $2 - t$，面积为 $\frac{1}{2}(2 - t)^2$，故：
$S(t) = 1 - \frac{1}{2}(2 - t)^2 = -\frac{1}{2}t^2 + 2t - 1.$

当 $t > 2$ 时

直线完全位于正方形右上方，左下方区域为整个正方形，面积恒为 $1$。